向量

列向量与行向量

使用矩阵功能创建单列矩阵即可得到列向量。按 Alt + t Tab 创建矩阵，输入分量即可。输入 vec 后回车也可快速插入带箭头的向量符号。

$$\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$$

行向量则创建单行多列矩阵：

$$\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$$

向量是结构化环境，可以直接修改分量，无需手动编辑代码。

单位向量

在字母后按 Alt + ˆ（macOS: Option + ˆ）添加帽子符号，常用于表示单位向量：

$$\hat{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \hat{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \hat{k} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$

单位化向量：

$$\hat{u} = \frac{\mathbf{u}}{\|\mathbf{u}\|}$$

向量运算

点积（内积）：

$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i$$

叉积（外积）：

$$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}$$

模长：

$$\|\mathbf{v}\| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}$$

选读：与 LaTeX 的对比

在 Liii STEM 中，向量一般是通过单行或单列的矩阵环境来实现结构化排版的。由于其完全是结构化对象，分量的添加、删除或内容编辑都非常灵活。而在 LaTeX 中，分量的管理仍然是手写代码。

例如，要在 LaTeX 中排版一个列向量：

\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}

对应的渲染效果如下：

$$\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$$

而在 Liii STEM 中，你可以像处理普通表格一样进行分量的删改，无需手动去编写 \\ 等对齐连接符。

对于单位向量，Liii STEM 支持通过快捷键 Alt + ˆ 极其简单地为任何字母戴上帽子.而在 LaTeX 中，你需要书写专门的重音命令：

\hat{i} \quad \text{或} \quad \hat{j}

对应的渲染效果如下：

$$\hat{i} \quad \text{或} \quad \hat{j}$$

同样，排版普通的带箭头或粗体的向量时，在 LaTeX 中通常使用：

\vec{v} \quad \text{与} \quad \mathbf{v}

对应的渲染效果如下：

$$\vec{v} \quad \text{与} \quad \mathbf{v}$$

如果您已经有现成的 $\LaTeX$ 代码，也可以直接使用魔法粘贴到 Liii STEM 中进行转换。