数学模式完全指南：符号、结构、快捷键一网打尽

Liii STEM 设置了独立的数学模式，支持数学公式编辑、编号和引用，还集成乐高符号、Tab 循环和魔法粘贴等快捷方式，经过大概一周的练习，您可以实现几乎媲美手写的编辑速度。

如果您是资深的 $\LaTeX$ 用户，那么您的公式编写经验大部分都可以在 Liii STEM 中复用，请参阅 LaTeX 用户指南 的第 6 节后再回头快速浏览完这篇文章。

1 怎样进入数学模式？

1.1 文本模式与数学模式的区别

在 Liii STEM 中，基础的文档编辑分为文本模式和数学模式两种核心状态：

• 文本模式：默认编辑状态，用于撰写正文、标题、段落、表格、图片等常规内容。
• 数学模式：专门用于编辑数学公式，进入后输入的字符会按数学排版规则自动处理（如字母斜体、符号间距调整等）。

请牢记（看似是废话的）一句话：所有数学相关的内容都需要在数学模式下书写！

顶部工具栏从上到下依次为 菜单栏，模式工具栏， 焦点工具栏。

通过模式工具栏便可以判断您当前处于何种模式。

我们在数学模式下提供四种基础环境，行内公式，单行公式，多行公式（align），和 多行公式（eqnarray） 环境，所有这些环境都可以通过点击文本模式下模式工具栏上的 π 键，然后选择对应环境进入。后文不再赘述此方式。

1.2 行内公式

将光标置于需要插入公式的位置，按 $ 即可进入数学模式 下的 行内公式环境，此环境用于公式与正文混排。

示例（行内公式）：输入 $ 后键入 E=mc^2，即可得到 $E=mc^2$。输入完成后按方向键退出。

提示：快捷键只在英文输入法下生效。如果忘记了快捷键，可以查看 插入 → 数学 菜单中的提示。

1.3 单行公式

按 Alt+$（macOS 为 Option+$）即可插入单行独立数学公式，默认居中显示，与正文分开。

示例（单行公式）：按 Alt+$ 插入单行独立数学公式：

$$e^{i\pi} + 1 = 0$$

如需编号，可在焦点工具栏点击 123 键，或按 Ctrl+#。

1.4 多行公式环境

按 Ctrl+$ 即可进入多行公式环境 (align) （试试看直接敲 \align 然后回车）。换行按 Enter，对齐是全自动的，无需手动插入 &。

示例（多行公式）：

$$\begin{aligned} f(x) &= (x+1)^2 \\ &= x^2 + 2x + 1 \end{aligned}$$

提示：如需为公式添加或取消编号，可使用焦点工具栏的 123 键或按 Ctrl+#。

我们还提供 \eqnarray 类型的多行公式环境，可以通过 Ctrl + & 进入。也可以通过敲 \eqnarray 后回车进入。

2 怎样高效输入数学符号？Liii STEM 输入法！

在 Liii STEM 中，输入数学符号至少有三种途径：点击模式工具栏上的图标菜单、使用键盘快捷键（事实上这更接近于一套全新的学习成本极低的输入法），或直接键入 $\LaTeX$ 命令。例如，要输入符号 $\leqslant$，既可以在模式工具栏的符号菜单中查找，也可以直接使用乐高符号 < =，熟悉 $\LaTeX$ 的用户还可以键入 \leqslant 后回车。下文不再赘述 $\LaTeX$ 命令和鼠标点击的输入方式。

当鼠标悬停在工具栏图标上时，对应的快捷键也会以提示气泡的形式显示。

下文重点介绍 Liii STEM 的“输入法”——乐高符号、Tab 循环与 Alt+Shift+↓ 循环。经过短短一周的练习，您的输入效率便可媲美手写。

2.1 乐高符号与 Tab 循环

Liii STEM 提供了两种核心的快捷输入机制：

• 乐高符号：通过字符拼接生成新符号，规则采用图形化设计思路。例如 < 和 > 表示方向，@ 表示圆圈，输入 < = 可立刻得到 $\leqslant$。
• Tab 循环：在形似符号或音似符号间循环切换。例如输入 f 后按 Tab 可依次得到 $f$, $\phi$, $\varphi$ 后循环回 $f$，按 Shift + Tab 可逆向切换。下文表格中统一只标注一次 Tab，实际需要按几次取决于目标符号在循环中的位置。

这两种机制还可以组合使用：先通过乐高符号拼接出基础符号，再按 Tab 在其变体间循环。例如输入 RR 得到 $\mathbb{R}$，继续按 Tab 即可在 $\mathcal{R}$、$\mathscr{R}$、$\mathfrak{R}$、$\mathbf{R}$ 等变体间切换。

下面给出一些示例。完整的符号列表请见 Liii STEM 的键盘快捷键。

符号效果	输入方式	符号效果	输入方式
$\rightarrow$ / $\longrightarrow$	拼接：- > / - - >	$\alpha$ / $\forall$	a Tab/ A Tab
$\leqslant$ / $\nleqslant$	拼接：< = / < = /	$\leq$, $\Leftarrow$	< = Tab
$\infty$	拼接：@ @	$\Delta$, $\nabla$	D Tab
$\oplus$ / $\otimes$	拼接：@ + / @ *	$\in$, $\subset$ , $\langle$	< Tab
$\mathbb{R}$	拼接：R R	$\mathcal{R}$, $\mathscr{R}$, $\mathfrak{R}$	R R Tab

2.2 Alt+Shift+↓ 循环

与 Tab 循环在单个字符变体间切换不同，Alt+Shift+↓ 循环用于在相似的环境或结构之间快速切换。将光标置于环境中，按 Alt+Shift+↓ 即可遍历相关变体。

在数学公式编辑中，以下场景的切换最为常用：

场景	可循环的变体
公式类型	行内公式 $ ↔ 单行公式 Alt+$
括号风格	$(x)$ ↔ $[x]$ ↔ $\{x\}$ ↔ $\langle x \rangle$
矩阵/表格	普通矩阵 ↔ 行列式 ↔ Bmatrix ↔ 分段函数
上下标	上标 ^ ↔ 下标 _（当仅有上标或仅有下标时）

更多关于章节层级、语义块等非数学场景的切换，请参阅 高效编辑指南。

2.3 选读：等价类

本节利用类似群论的语言解释 Tab 循环和 Alt+Shift+↓ 循环的设计原理。若您对代数学感兴趣，读完会发现这两种循环本质上就是循环群。因此我们实际上是利用数学设计了一种方便输入符号的方式！

定义（Tab 等价类）

我们称符号 $a$ 和 $b$ 为 $c$ 的同类元素，如果他们可以通过 $c$ 的 Tab 循环得到（其中 $c$ 不需要敲 Tab 得到）。$c$ 的所有同类元素构成的集合称为 $c$ 的 Tab 等价类，标记为 $[c]$。

现在你再也不用区分 ${\hbar}$ 和 $h$ 了，他们都是 $h$ 的同类元素，事实上 $[h] = \{ h, \eta, \hbar \}$。我们再给一些例子。

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示例：Tab 等价类

键盘上所有的英文字母都对应希腊字母，根据上述定义，我们列举部分：

• $[a] = \{ a, \alpha \}$, $[b] = \{ b, \beta, \flat \}$, $[p] = \{ p, \pi, \pi, \varpi \}$, $[j] = \{ j, \theta, \jmath, \vartheta \}$
• $[f] = \{ f, \varphi, \phi \}$, $[F] = \{ F, \Phi \}$
• $[d] = \{ d, \delta, \mathrm{d}, \partial \}$, $[D] = \{ D, \Delta, \mathrm{D}, \daleth, \nabla \}$
• $[s] = \{ s, \sigma, \varsigma \}$, $[S] = \left\{ S, \Sigma, \sum \right\}$

根据上述定义，我们列举部分逻辑与关系符号：

• $[A] = \{ A, \forall, \aleph \}$，这里 $\aleph$ 之所以在 $A$ 的等价类里是因为这个符号名字叫阿列夫。
• $[E] = \{ E, \exists, \exists \}$
• $\left[ \texttt{<=} \right] = \{ \leqslant, \leq, \leqq, \Leftarrow, \Lleftarrow \}$， $\left[ \texttt{>=} \right] = \{ \geqslant, \geq, \geqq \}$

有些循环符号比较多，不重要的用 $\ldots$ 代替：

• $\left[ \texttt{I} \right] = \left\{ I, \int, \mathrm{I}, \Im \right\}$
• $\left[ \texttt{II} \right] = \left\{ \mathbb{I}, \iint, \mathcal{I}, \ldots \right\}$
• $\left[ \texttt{III} \right] = \left\{ \mathrm{III}, \iiint \right\}$
• $\left[ \texttt{*} \right] = \{ \times,, \ast, \cdot, \wedge, \star \}$，其中第二个元素是个不可见乘号，符号计算的时候常用。

活用 ~：

• $\left[ \sim\sim \right] = \{ \approx, \Bumpeq \}$， $\left[ \sim = \right] = \{ \cong \}$
• $\left[ \texttt{@*} \right] = \left\{ \otimes, \bigotimes \right\}$
• $[\texttt{alt+t}] = \left\{ \begin{array}{cc} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{array}, \left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{array}\right), \left|\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{array}\right|, \left\{\begin{array}{ll} x \leq 0 \\ x < 0 \end{array}\right., \begin{array}{c} y \in \mathcal{Y}\\ x \in \mathcal{X} \end{array}, \left[\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{array}\right] \right\}$

全部都是粗体等价类：

• $\left[ \texttt{RR} \right] = \{ \mathbb{R}, \mathcal{R}, \mathscr{R}, \mathfrak{R}, \boldsymbol{R}, \mathrm{R}, \mathbf{R} \}$
• $\left[ \texttt{AA} \right] = \{ \mathbb{A}, \mathcal{A}, \mathscr{A}, \mathfrak{A}, \boldsymbol{A}, \mathrm{A}, \mathbf{A} \}$
• $\vdots$

定义（Alt+Shift+↓ 等价类）

同理，我们称环境 $A$ 和环境 $B$ 互为同类环境，如果它们可以通过 Alt+Shift+↓ 循环相互切换。一个环境的所有同类环境构成的集合称为它的 Alt+Shift+↓ 等价类。

以下是数学场景中常见的等价类：

• $[\text{行内公式}] = \{ \text{行内公式},\ \text{单行公式} \}$
• $[\text{圆括号}] = \{ (x),\ [x],\ \{x\},\ \langle x \rangle \}$
• $[\text{矩阵}] = \{ \text{矩阵},\ \text{行列式},\ \text{Bmatrix},\ \text{分段函数} \}$
• $[\text{定理}] = \{ \text{命题},\ \text{推论},\ \text{引理} \}$

3 怎样输入常用数学结构？

在Liii STEM 中您可以把结构理解成一种特殊的环境。

结构化包裹：在 Liii STEM 中，如果您先选中一段内容，再插入任何数学结构（括号、分数、根号、上下标等），选中的内容会被自动包裹进新环境，而不会被删除。

例如：选中 a 后按 ( 得到 $(a)$；选中 a+b 后按 Alt+f 得到 $\frac{a+b}{\phantom{1}}$；在 $ax$ 里选中 x 后按 ^ 得到 $a^{x}$（光标位于上标位置）。这个逻辑适用于本节介绍的所有结构。

3.1 上标，下标，顶标和底标

在数学模式下，使用 ^ 键创建上标，_ 键创建下标。例如，键入 a _ n 得到 $a_n$，键入 x ^ 2 得到 $x^2$。

与 $\LaTeX$ 的区别：在 $\LaTeX$ 中，上下标是纯文本标记（a^1_2），输入顺序由编译器统一解析。而在 Liii STEM 中，上标和下标各自是一个独立的环境（所见即所得的结构化编辑）。因此，输入完上标后需要按 → 退出当前环境，才能继续输入下标或返回基线。这赋予了您对公式结构的精确控制——上下标的输入顺序直接决定了语义层次。更多关于公式语义的内容请参阅 8.1 为什么需要语义编辑。

同时带有上下标：先输入上标或下标均可，顺序不影响渲染，但对语义有影响。例如 a _ n → ^ 2 得到 $a_n^2$（表示 $(a_n)^2$），而 a ^ 2 → _ n 则意味着 $(a^2)_n$。

多重嵌套：键入 a ^ b ^ c 得到 $a^{b^c}$。输入完成后按 → 键退出上标环境，再输入 + b _ n 即可继续编辑 $a^{b^c} + b_n$。

撇号（'）与双撇号（"）：输入导数或共轭等符号时，可以直接敲 ' 或 "，无需进入上标环境。例如 a ' + b 直接得到 $a' + b$，而输入 $a^2 + b$ 则需要 a ^ 2 → （先退出上标环境） + b。

继续按 Tab 可在撇号的多种变体间循环：

单撇号变体	示例	输入	双撇号变体	示例	输入
撇号	$a'$	a '	双撇号	$a''$	a "
反撇号	$a^{\backprime}$	a ' Tab	双反撇号	$a^{\backprime\backprime}$	a " Tab
星号	$a^*$	a ' Tab	双星号	$a^{\mathord{*}\mathord{*}}$	a " Tab
五角星号	$a^\star$	a ' Tab	双五角星号	$a^{\star\star}$	a " Tab
dagger	$a^\dagger$	a ' Tab	双 dagger	$a^{\dag\dag}$	a " Tab
双 dagger	$a^‡$	a ' Tab	双双 dagger	$a^{\ddag\ddag}$	a " Tab

切换上下标：如果一个公式中只有上标（如 $x^2$）或只有下标（如 $a_n$），将光标置于该环境中按 Alt+Shift+↓ 可直接在上标和下标之间切换，无需删除重建。这背后的原理是：上标和下标互为同类环境，属于同一个 Alt+Shift+↓ 等价类，详情请参阅 2.2 Tab 循环与 Alt+Shift+↓ 循环。

正上方与正下方：普通上下标（^ / _）默认放在右上方和右下方。如果需要在任意元素的正上方或正下方添加标注，可使用：

• 顶标（正上方）：Alt+a（或 Option+a），例如 $\overset{n \to \infty}{\longrightarrow}$
• 底标（正下方）：Alt+b（或 Option+b），例如 $\underset{x \in A}{\max} f(x)$

更多关于左上标、左下标、顶标、底标的详细教程请参阅 如何在 Liii STEM 中输入上下标、左上标、左下标、顶标、底标。

大算子的上下标：对于积分、求和等显示公式中的大算子，上下标会自动放在算子的正上方和正下方：

$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} \quad \int_0^{\infty} \frac{dx}{1+x^2}$$

关于大算子在行内公式与显示公式中的渲染差异，以及如何强行将上下标放在正上方/正下方，请参阅 6.1 大算子。

3.2 分数

按 Alt+f（或 Option+f）插入分数。Liii STEM 会自动创建分子和分母两个输入位置，您可以直接键入内容。

分数的变体：将光标置于分数环境中，按 Alt+Shift+↓ 可循环切换不同类型的分数：

分数类型	效果	切换方式
普通分数	$\frac{a}{b+c}$	Alt+f（默认）
行内分数	$a/(b+c)$	Alt+Shift+↓
斜杠分数	$1/2$	继续按 Alt+Shift+↓
连分数	$1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cdots}}$	继续按 Alt+Shift+↓

提示：您也可以直接输入 / 作为一维分数，或通过 / Tab 得到 $:$ 和 $\div$。

3.3 根号

按 Alt+s（或 Option+s）插入平方根。例如 Alt+s x 得到 $\sqrt{x}$。

n 次方根：输入 Alt+s Tab 切换到 n 次根，然后键入被开方数，再按 Alt+← 回到次数位置填入 $n$：

$$\sqrt[3]{x}$$

提示：如果忘记先填次数，也可以在 $\sqrt{x}$ 中按 Alt+→ 添加次数位置，按 Backspace 则可删除次数。

3.4 矩阵， 行列式，分段函数

按 Alt+t（或 Option+t）插入一个 $1 \times 1$ 的表格结构。在数学模式下，这是一个居中的无框表格。按 Tab 可循环切换为矩阵、行列式、Bmatrix、分段函数等变体。

编辑矩阵：

操作	快捷键
增加列	Alt+→
增加行	Alt+↓
删除行列	Alt+Backspace / Delete
切换变体	Alt+Shift+↓

示例：

$$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \quad \begin{vmatrix} x & y \\ z & w \end{vmatrix},\quad f(x) = \begin{cases} 1, & x > 0 \\ 0, & x \le 0 \end{cases}$$

3.5 取消环境（Ctrl+Backspace）

在 Liii STEM 中，Ctrl+Backspace 是取消当前环境的快捷键——它会将您所在的结构拆散，保留其中的内容，但移除外层的结构标记。

这个功能不仅适用于数学公式中的分数、根号、括号、上下标等，同样适用于文本模式中的节标题、语义块（定理、引理、证明等）、列表项、折叠框等各种环境。只要您处于某个环境内部，Ctrl+Backspace 就可以将其"打平"为普通文本。

试一试：在 $\LaTeX$ 中取消一个结构通常需要手动删除 \begin{}...\end{} 或 {}。而在 Liii STEM 中，只需按 Ctrl+Backspace 即可一键取消，然后重新用其他结构包裹。这种"随时取消、随时重建"的灵活性正是结构化编辑的优势所在。

原始结构	效果	按 Ctrl+Backspace 后
分数 $\frac{a}{b}$	$\frac{a}{b}$	$a$
根号 $\sqrt{x}$	$\sqrt{x}$	$x$
括号 $(a+b)$	$(a+b)$	$a+b$
上标 $x^2$	$x^2$	$x2$
下标 $a_n$	$a_n$	$an$
矩阵/行列式	$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$	$a$

提示：如果只是想让光标退出当前环境而不取消结构，请按 → 方向键。Ctrl+Backspace 则是彻底拆除当前环境。如果您需要保留内容但换一种结构（如将圆括号改为方括号），也可以用 Alt+Shift+↓ 在同类环境间循环切换，请参阅 2.2 Tab 循环与 Alt+Shift+↓ 循环。

4 怎样输入特殊符号？

这里只介绍常用的符号，完整列表请参阅 Liii STEM 的键盘快捷键 。

4.1 希腊字母

在数学模式下，输入英文字母后按 Tab 即可得到对应的希腊字母。例如 a Tab 得到 $\alpha$，A Tab 得到 $\forall$（在逻辑上下文）或 $\Alpha$。

提示：希腊字母的 Tab 等价类通常包含该字母的多种变体。按多次 Tab 可循环切换。

符号	输入	符号	输入
$\alpha$	a Tab	$\beta$	b Tab
$\gamma$ / $\Gamma$	g Tab / G Tab	$\delta$ / $\Delta$	d Tab / D Tab
$\epsilon$ / $\varepsilon$	e Tab	$\zeta$	z Tab
$\eta$	h Tab	$\theta$ / $\Theta$	j Tab / J Tab
$\iota$	i Tab	$\kappa$	k Tab
$\lambda$ / $\Lambda$	l Tab / L Tab	$\mu$	m Tab
$\nu$	n Tab	$\xi$ / $\Xi$	x Tab / X Tab
$\pi$ / $\Pi$	p Tab / P Tab	$\rho$	r Tab
$\sigma$ / $\Sigma$	s Tab / S Tab	$\tau$	t Tab
$\upsilon$ / $\Upsilon$	u Tab / U Tab	$\phi$, $\varphi$ / $\Phi$	f Tab / F Tab
$\chi$	q Tab	$\psi$ / $\Psi$	y Tab / Y Tab
$\omega$ / $\Omega$	w Tab / W Tab

4.2 数学字体（黑板粗体、花体、哥特体）

Liii STEM 支持多种数学字体。最通用的方式是敲两下字母后按 Tab 循环：

字母大小写	效果示例	输入方式
大写字母	$\mathbb{R}$ / $\mathcal{R}$ / $\mathfrak{R}$ / $\mathbf{R}$ / $\mathrm{R}$	R R Tab 循环
小写字母	$\mathbb{r}$ / $\mathcal{r}$ / $\mathfrak{r}$ / $\mathbf{r}$ / $\mathrm{r}$	r r Tab 循环

提示：黑板粗体、花体、哥特体、粗体、直立等字体全部可以通过 AA Tab 或 aa Tab 循环切换得到，无需记忆不同的功能键前缀。

4.3 常用数学常数

常数	效果	输入
圆周率 $\pi$	$\pi$	p Tab
自然常数 $e$	$\mathrm{e}$	e Tab
虚数单位 $i$	$\mathrm{i}$	i Tab
微分符号 $\mathrm{d}$	$\mathrm{d}$	d Tab
偏导符号 $\partial$	$\partial$	d Tab
约化普朗克常量 $\hbar$	$\hbar$	h Tab
手写体 $\ell$	$\ell$	l Tab
无穷大 $\infty$	$\infty$	@ @
空集 $\varnothing$	$\varnothing$	@ /

与 $\LaTeX$ 的区别：在 $\LaTeX$ 中，单字母算子通常用 \mathrm{d}、\mathrm{e}、\mathrm{i} 表示，其中 \mathrm 的作用是将字母排成正体算子样式。在 Liii STEM 中，不需要 \mathrm 命令——直接敲 sin、cos、lim 等多字母组合，系统会自动识别为算子（详见 8.2 同形异义符与不可见运算符）。

但单字母的情况比较特殊：在数学模式下，单个字母（如 d）默认是斜体变量，而两个连续字母（如 dx）会被识别为算子。因此如果要输入微分符号 $\mathrm{d}x$，需要先按 d Tab 将单字母 d 切换为直立算子形式，再输入 x。上表中的 e Tab、i Tab、d Tab 正是为此设计的：将单字母从斜体变量切换为直立常数/算子。对于任何单字母算子，都可以先试一试 Tab 循环。

4.4 运算符与关系符

基本运算符：直接输入 +、-、*、/ 即可。* 默认表示 $\times$（叉乘），按 Tab 可切换为不可见乘法、$\cdot$、$\ast$、$\wedge$、$\star$。

不可见乘法：在 Liii STEM 中，相邻的字母会被自动识别为算子（如 ab 类似 $\LaTeX$ 的 \mathrm{ab}），不会自动表示乘法。如果需要不可见乘法，应先输入 *，再按 Tab 切换为不可见形式，然后输入后续内容：例如 a * Tab b 得到 $ab$（表示 $a$ 乘以 $b$）。如果只是需要视觉间距而不关心语义，也可以直接敲空格。

为什么需要区分？在符号计算中，ab（算子名）和 a * Tab b（乘法）的语义完全不同——前者在 Python 中是一个变量名，后者是两个数相乘。详见 8.2 同形异义符与不可见运算符。

关系符：

符号	输入	符号	输入
$\leq$ / $\leqslant$	< = Tab	$\geq$ / $\geqslant$	> = Tab
$\neq$	= \	$\approx$	~ ~
$\equiv$	= Tab	$\cong$	~ =
$\sim$	~	$\simeq$	~ -
$\propto$	@ @ Tab	$\ll$ / $\gg$	< < / > >
$\pm$ / $\mp$	+ - / - +	$\cdot$	* Tab
$\times$	* Tab	$\div$	/ Tab
$\oplus$ / $\ominus$	@ + / @ -	$\otimes$ / $\odot$	@ * / @ .

4.5 箭头与定界符

箭头：

符号	输入	符号	输入
$\rightarrow$	- >	$\longrightarrow$	- - >
$\Rightarrow$	= >	$\Longrightarrow$	= = >
$\leftarrow$	< -	$\leftrightarrow$	< - >
$\mapsto$	| - >	$\longmapsto$	| - - >
$\leadsto$	~ >	$\uparrow$ / $\downarrow$	< - Tab
$\nrightarrow$	- > /	$\nRightarrow$	= > /

提示：在可扩展箭头（如 $\rightarrow$）上方添加标签，直接按 ^ 输入上标即可。

定界符：

符号	输入	符号	输入
$\langle \rangle$	< Tab	$|$	| |
$\lfloor \rfloor$	| .	$\lceil \rceil$	| '

4.6 集合与逻辑符号

集合：

符号	输入	符号	输入
$\in$	< Tab	$\subset$ / $\subseteq$	< Tab / < = Tab
$\cup$ / $\cap$	% Tab / & Tab	$\emptyset$	@ /
$\mathbb{R}$	R R	$\mathbb{Z}$	Z Z
$\mathbb{Q}$	Q Q	$\mathbb{N}$	N N
$\mathbb{C}$	C C

逻辑：

符号	输入	符号	输入
$\forall$	A Tab	$\exists$	E Tab
$\neg$	! Tab	$\wedge$ / $\vee$	& / %
$\vdash$	| Tab -	$\models$	| Tab =
$\Rightarrow$	= >	$\Leftrightarrow$	< = >

5 怎样排版多行公式？

在多行公式或单行公式环境中，按 Ctrl+#（或点击焦点工具栏的 123 键）可为当前行添加或移除编号。

5.1 多行公式（align）

按 Ctrl+$ 进入多行公式（align）环境。与 $\LaTeX$ 的 align 不同，您无需手动对齐——换行后系统会自动对齐等号或其他关系符。

示例：

$$\begin{aligned} f(x) &= (x+1)^2+ 0 \qquad \qquad \qquad \qquad (1) \\ &= x^2 + 2x + 1 \qquad \qquad \qquad \qquad (2) \\ &= x(x+2) + 1 \qquad \qquad \qquad \qquad (3)\end{aligned}$$

输入步骤：

1. 按 Ctrl+$ 进入多行公式环境
2. 键入 f(x) = 后右方向键进入右边列 (x+1)^2
3. 按 Enter 换行
4. 键入 = 后右方向键进入右边列 x^2 + 2x + 1
5. 继续按 Enter 添加新行

与 $\LaTeX$ 的区别：在 $\LaTeX$ 的 align 环境中，每行分为两列，运算符需要放在对齐点 & 右侧（如 f(x) &= ...）。而在 Liii STEM 中，您只需按自然书写习惯将 =、$\leq$、$\geq$ 等关系符打在左侧（即公式行内），系统会自动识别并对齐。

在 Liii STEM中敲多行公式永远不需要手动对齐和换行！

5.2 多行公式（eqnarray）

按 Ctrl+& 进入多行公式（eqnarray）环境。与 align 不同，eqnarray 每行分为三列：

• 左列：等号左侧的表达式
• 中列：关系符（=、$\leq$、$\geq$ 等）
• 右列：等号右侧的表达式

示例 (注意到等号两边间距更大)：

$$\begin{array}{rcl} f(x) & = & (x+1)^2 \\ & = & x^2 + 2x + 1 \\ & = & x(x+2) + 1 \end{array}$$

输入步骤与 align 相同，直接键入内容后按 Enter 换行即可。eqnarray 适合需要严格区分左中右三列的排版场景。

为什么 $\LaTeX$ 用户被建议使用 align 而非 eqnarray：在 $\LaTeX$ 中，eqnarray 存在等号两侧间距不一致的问题（不同环境下空格大小可能不同），因此被社区广泛弃用。但在 Liii STEM 中，没有这个问题——您可以根据排版需要随意使用 eqnarray，无需顾虑间距一致性。

5.3 单行公式内的多行公式 (aligned)

aligned 是一种子环境，只能在单行公式内部使用。当您需要在单行公式中排版多行对齐内容，且只想要一个编号时，在单行公式内部敲 \aligned 后回车即可。

与 align 的核心区别：

环境	编号方式	适用场景
align	每行单独编号	独立的多行公式，每行都是独立的等式
aligned	整个环境一个编号	单行公式内部的多行推导，整体视为一个公式

示例（以下演示的是 aligned 在单行公式内部的排版效果，实际编号请在 Liii STEM 中开启编号后查看）：

$$\begin{aligned} f(x) &= (x+1)^2 \\ &= x^2 + 2x + 1 \\ &= x(x+2) + 1 \end{aligned} \tag{1}$$

输入步骤：

1. 先按 Alt+$ 进入单行公式环境（或直接敲 \equation 后回车）
2. 在单行公式内部敲 \aligned 后回车，进入 aligned 子环境
3. 键入多行内容，按 Enter 换行
4. 为单行公式开启编号（Ctrl+#），系统会为整个公式分配一个编号

重要：aligned 不能独立使用，必须嵌套在单行公式内部。

提示：aligned 本质上是 align 的"子环境"版本——对齐规则完全相同（无需手动对齐），但编号规则不同。如果您发现每行都出现了编号，说明您进入的是 align 环境而非 aligned。

6 怎样排版复杂公式？

6.1 大算子

大算子（积分、求和、乘积等）在单行/多行公式中会自动放大，并将上下标放在算子的正上方和正下方；而在行内公式中，上下标会显示在右上方和右下方（紧凑型）。例如 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}$ v.s.

$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}.$$

算子	输入	算子	输入
积分 $\int$	I Tab	求和 $\sum$	S Tab
二重积分 $\iint$	I I Tab	乘积 $\prod$	P Tab
三重积分 $\iiint$	I I I Tab	并集 $\bigcup$	U Tab
曲线积分 $\oint$	@ I	交集 $\bigcap$	N Tab
曲面积分 $\oiint$	@ I I

强行将上下标放在正上方/正下方：即使在行内公式中，也可以通过 Alt+a（顶标，正上方）或 Alt+b（底标，正下方）实现。更多关于上下标、左上标、顶标、底标的详细教程请参阅 如何在 Liii STEM 中输入上下标、左上标、左下标、顶标、底标。

提示：如果需要让行内公式中的大算子展开显示，可将公式转换为单行公式环境（按 Alt+Shift+↓ 循环切换）。

6.2 宽重音与可扩展箭头

重音与宽重音：按 Alt+修饰键（或 Option+修饰键）为前导字符添加重音。宽重音会自动拉伸以适应下方内容。

重音	输入	宽重音	输入
上标箭头 $\vec{x}$	Alt+ Shift + v	宽帽子 $\widehat{x+y}$	Alt+^
帽子 $\hat{x}$	Alt+^	宽波浪线 $\widetilde{x+y}$	Alt+~
波浪线 $\tilde{x}$	Alt+~	宽横线 $\overline{x+y}$	Alt+b
横线 $\bar{x}$	Alt+ Shift + b	上括号 $\overbrace{x+y}$	\overbrace
点 $\dot{x}$	Alt/Cmd +.	下括号 $\underbrace{x+y}$	\underbrace
双点 $\ddot{x}$	Alt+"

这里再次强调下，我们支持 $\LaTeX$ 命令，所以您也可以用类似 \hat 的方式输入。

模式工具栏可以找到对应的符号，光标悬浮在上面会显示快捷键提示。

可扩展箭头：在箭头后按 ^ 添加上标，按 _ 添加下标，箭头会自动拉伸。

$$\xrightarrow{f \otimes g} \quad \xleftarrow{\text{逆映射}} \quad \xRightarrow{\text{蕴含}}$$

6.3 括号与定界符

Liii STEM 会自动匹配括号。输入 ( 后，会自动补全 )。您可以直接在括号内输入内容，系统会根据内容自动调整括号大小。

大定界符：

定界符	输入
绝对值 $\lvert x \rvert$	| x
范数 $\lVert x \rVert$	| | x
向下取整 $\lfloor x \rfloor$	| . x
向上取整 $\lceil x \rceil$	| ' x

提示：如果自动匹配的括号不需要闭合，将光标放在闭括号后按 Backspace 即可删除。系统会用不可见括号替代，确保语义正确。

提示：还记得 2.2 Tab 循环与 Alt+Shift+↓ 循环 的内容吗？将光标置于括号内，按 Alt+Shift+↓ 可在圆括号 ()、方括号 []、花括号 {}、尖括号 <> 等之间循环切换。

7 公式编号与引用

7.1 自动编号与手动控制

按 Ctrl+#（或点击焦点工具栏的 123 键）可为公式添加编号。再次按下可取消编号。

以章节号为前缀：在焦点工具栏勾选此选项后，编号会自动带上章节前缀（如 (2.3)等），方便长文档的定位。

行内公式不支持编号。

7.2 创建标签（\label）

要为公式创建可引用的标签：

1. 将光标放在需要引用的公式中
2. 按 Ctrl+!（或输入 \label）
3. 输入标签名称后回车

已标注的公式右侧会出现由菱形与竖线构成的蓝色标识。

注意：不只是公式，定理、引理、图表、表格、章节等任何可编号的内容都可以创建标签并被引用。本文仅介绍公式相关的引用操作，完整的引用系统请参阅 双向链接和引用。

良好的命名习惯能让您在引用时快速定位目标。建议采用类型前缀 + 描述的格式：

类型	前缀	示例	说明
公式	eq:	eq:euler-identity	欧拉恒等式

7.3 插入引用（\reference）

在正文中引用已标记的公式：

1. 按 Ctrl+?（\reference或输入 \eqref）
2. 输入标签名称后回车

提示：输入标签名称时按 Tab 可快速列出文档中所有已定义的标签，支持自动补全。

实时预览：将鼠标悬停在引用编号上，可实时预览被引用的公式内容，点击即可跳转到对应位置。使用 Ctrl/Cmd + [ 或 ] 可来回跳转公式和引用公式的地方。

7.4 选读：智能引用（smart-ref）

Liii STEM 内置 smart-ref 功能，能够自动识别您引用内容的类型并生成对应的引用格式，无需手动键入类型名称和不间断空格。

启用方法：

1. 在文本模式下，点击焦点工具栏中的 ⊕ 按钮
2. 在 实用 分类中，勾选 smart-ref
3. 启用后 Ctrl+? 会自动使用 smart-ref

使用示例：

引用目标	普通 ref 输出	smart-ref 输出
公式 (3)	3	公式 (3)
定理 2.1	2.1	定理 2.1
图 4	4	图 4

8 选读：数学公式的语义

Liii STEM 内置语义编辑功能，如果您想要在 Liii STEM 内进行符号计算，那么这个章节对您来说会很重要！

8.1 为什么需要语义编辑

在 $\LaTeX$ 中，公式本质上是"纯文本"——编译器只负责排版，不关心符号背后的数学含义。这导致了许多视觉相同但语义矛盾的情况，轻则让计算机代数系统困惑，重则产生错误的数学推导。Liii STEM 的语义编辑正是为了解决这些问题。

同形异义符（Homoglyphs）的陷阱：

以下符号在 $\LaTeX$ 中可能看起来完全一样，但数学含义截然不同：

符号	含义一	含义二
|	绝对值 $|{-x}| = |x|$	整除 $11 \mid 1001$
,	函数参数分隔 $f(x, y)$	小数逗号 $3{,}14159$
.	小数点 $3.14$	lambda演算连接符 $\lambda x.\,x^2$
:	比例分隔 $a : b : c$	类型标注 $x : \text{Int}$
\	反斜杠符号 \x	集合差 $\mathbb{N} \setminus \{0\}$
&	逻辑与 $1 = 1 \wedge 2 = 2$	楔积 $dx \wedge dy$

不可见运算符的歧义：

更隐蔽的是那些"看不见"的运算符——它们在纸面上显示为空白或极小的间距，但对计算机来说含义完全不同：

• 乘法 vs 函数应用：$ab$（乘法）和 $\sin x$（函数应用）在 $\LaTeX$ 中都必须手动排版，但 Liii STEM 要求您显式选择：* Tab 输入不可见乘法，Space 输入函数应用。
• 不可见分隔符：矩阵 $(a_{ij})$ 中的逗号其实是不可见分隔符，与函数参数中的可见逗号语义不同。
• 常数 vs 变量：$\mathrm{e}$（自然常数）和 $e$（普通变量）在 $\LaTeX$ 中需要用不同的命令（\mathrm{e} vs e），而在 Liii STEM 中通过 Tab 循环即可区分。

为什么这很重要？

• 兼容计算机代数系统：由于公式带有完整的语义信息，您可以直接将编辑好的数学表达式复制粘贴到 Python、Maple、Sage、Mathematica 等系统中进行符号运算，无需手动转译。例如，在 Liii STEM 中输入的 $a * b$（不可见乘法）粘贴到 Python 后会自动变成 a * b，而 a b（函数应用）则保持为函数调用语义。Liii STEM 还内置了 Python 会话插件，可直接粘贴公式在文档中运行 Python 代码并获取计算结果。
• 减少低级错误：句法检查能在输入阶段就发现"错别字"或结构错误。例如，$a +$ 这样的不完整表达式会被标记为不正确，而 $a(b+c)$ 和 $f(x+y)$ 在句法上会被严格区分为乘法和函数应用。
• 智能选择与粘贴：剪切和粘贴时，只能选择句法上有意义的子公式，避免破坏公式结构。
• 规范表示法：降低使用非标准或歧义表示法的风险。

8.2 同形异义符与不可见运算符

Liii STEM 仔细区分了同形异义符（homoglyphs）——即看起来相同但含义不同的符号。其中最典型的是不可见乘法与函数应用：

输入	效果	示例	含义
* Tab	（不可见）	$ab$	不可见乘法
Space	（不可见）	$\sin x$	函数应用
,	$,$	$f(x, y)$	逗号分隔符
, Tab	（不可见）	$(a_{ij})$	不可见分隔符

提示：输入公式时，请务必区分乘法和函数应用。例如，$a(b+c)$ 通常表示乘法，而 $f(x+y)$ 表示函数应用，二者在句法上完全不同。

单字母算子与多字母算子：在 Liii STEM 中，多字母序列（如 sin、cos、lim、log）会被自动识别为算子，无需额外命令。但单字母（如 d、e、i）默认是斜体变量。如果要将单字母用作算子或常数（如微分符号 $\mathrm{d}$、自然常数 $\mathrm{e}$、虚数单位 $\mathrm{i}$），需要通过 Tab 循环将其切换为直立形式。这与 $\LaTeX$ 中用 \mathrm{d} 显式声明正体形成对照——在 Liii STEM 中，您只需要记住"单字母算子按 Tab"即可。

如果您输入 a Space b 后粘贴进 Python，您会得到 a b 但是如果您在 a b 之间插入一个不可见乘号，粘贴进 Python 后会得到 a * b 可以直接进行符号运算。

8.3 语义焦点

当您开启语义编辑后，Liii STEM 的焦点工具栏和编辑行为会适应公式的句法结构，而不仅仅是视觉结构。

• 颜色反馈：如果当前公式句法正确，语义焦点边界框会显示为绿色；若存在错误，则显示为红色。这让您在输入时就能快速发现错别字。
• 优先级提示：将光标放在运算符旁边时，该运算符所作用的完整子表达式会被高亮显示，帮助您确认默认解释是否符合预期。

示例：在公式 $a + b \times c$ 中：

将光标放在 \times 旁边，$b \times c$ 会被高亮——这展示了乘法的局部作用域；将光标放在 + 旁边，$a$ 和 $b \times c$ 会被同时高亮——这直观地展示了乘法的优先级高于加法：

提示：语义编辑模式可在 编辑 → 首选项 → 数学 → 语义编辑 中切换。建议在进行大量公式编辑时保持开启，以获得更好的编辑体验。

9 后续阅读

需要一份完整的符号快捷键速查表？请参阅 Liii STEM 的键盘快捷键。

• 高效编辑指南：深入了解 Tab 循环、结构化变体和结构化光标移动的高效编辑技巧。
• 写给 LaTeX 用户的 Liii STEM 教程：从 $\LaTeX$ 迁移的用户可查阅第 6 节，了解公式编辑的详细对照。
• 自定义宏命令：学习如何创建自定义数学符号和快捷命令。
• 文本模式完全指南：深入了解内容标记、字体设置、章节目录、列表、语义块、参考文献、图片表格、算法代码、批注脚注等完整功能。
• Python 会话插件：在文档中直接运行 Python 代码，验证和计算数学公式。
• 幻灯片制作：在幻灯片模式中排版和展示数学公式。