集合与逻辑

集合论和数理逻辑是现代数学的基础语言。不同领域（分析、代数、计算机科学）对符号的使用习惯有所不同。

集合运算

符号	快捷键	LaTeX
$\cup$	% Tab	\cup
$\cap$	& Tab	\cap
$\varnothing$	@ /	\varnothing

并集与交集：

$$A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ 或 } x \in B\}$$

$$A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ 且 } x \in B\}$$

德摩根定律：

$$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$$

$$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$$

包含关系

符号	快捷键	LaTeX
$\subset$	< Tab	\subset
$\subseteq$	< Tab =	\subseteq
$\supset$	> Tab	\supset
$\supseteq$	> Tab =	\supseteq

真子集与包含：

$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$$

子空间包含：

$$W \subseteq V \quad \text{（} W \text{ 是 } V \text{ 的子空间）}$$

注意区分 $\subset$（真子集，表示严格包含）和 $\subseteq$（子集，可能相等）。某些教材中 $\subset$ 也用于表示一般子集，需根据上下文判断。

属于关系

符号	快捷键	LaTeX
$\in$	< Tab	\in
$\ni$	> Tab	\ni
$\notin$	< Tab /	\notin

元素属于集合：

$$x \in \mathbb{R}, \quad i \notin \mathbb{R}, \quad \sqrt{2} \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$$

存在量词与属于结合：

$$\exists x \in \mathbb{R} \text{ 使得 } x^2 = 2$$

数集

符号	快捷键	说明
$\mathbb{N}$	N N	自然数集
$\mathbb{Z}$	Z Z	整数集
$\mathbb{Q}$	Q Q	有理数集
$\mathbb{R}$	R R	实数集
$\mathbb{C}$	C C	复数集

定义域和值域：

$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad g: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$$

数集包含链：

$$\mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{R} \subseteq \mathbb{C}$$

量词

符号	快捷键	LaTeX
$\forall$	A Tab	\forall
$\exists$	E Tab	\exists
$\neg$	! Tab	\neg

全称量词：

$$\forall x \in \mathbb{R}, \quad x^2 \geq 0$$

存在量词：

$$\exists x \in \mathbb{R} \text{ 使得 } x^2 = 2$$

否定：

$$\neg (\forall x \in A, P(x)) \Leftrightarrow \exists x \in A, \neg P(x)$$

量词后通常跟逗号或空格，多个量词连用时应明确括号。

逻辑连接词

符号	快捷键	LaTeX
$\vee$	%	\vee
$\wedge$	&	\wedge
$\Rightarrow$	= >	\Rightarrow
$\vdash$	| - Tab	\vdash
$\models$	| = Tab	\models

逻辑或/与：

$$P \vee Q \quad \text{（} P \text{ 或 } Q \text{）}$$

$$P \wedge Q \quad \text{（} P \text{ 且 } Q \text{）}$$

蕴含：

$$P \Rightarrow Q \quad \text{（} P \text{ 蕴含 } Q \text{）}$$

可推导性：

$$\Gamma \vdash \varphi \quad \text{（从 } \Gamma \text{ 可推导出 } \varphi \text{）}$$

语义蕴含：

$$\Gamma \models \varphi \quad \text{（} \Gamma \text{ 语义蕴含 } \varphi \text{）}$$

选读：与 LaTeX 的对比

在 Liii STEM 中，集合与逻辑符号的输入非常智能且具有语境自适应特征。而在 LaTeX 中，由于特定键盘字符在特殊环境中具有特殊功能（如 % 为注释，& 为列对齐），排版这类符号往往必须书写繁复的长命名命令。

例如，排版集合并集与交集，Liii STEM 通过键盘原生字符 % Tab 或 & Tab 即可获得，而 LaTeX 中则必须使用数学公式标记：

\cup \quad \text{与} \quad \cap

对应的渲染效果如下：

$$\cup \quad \text{与} \quad \cap$$

在属于关系和数集的输入上，Liii STEM 能够智能地将普通上下文的 < Tab 转换成属于符号，并将双写的 N N 转化为黑板粗体的数集，而 LaTeX 中必须这样书写：

\in \quad \text{和} \quad \mathbb{N}

对应的渲染效果如下：

$$\in \quad \text{和} \quad \mathbb{N}$$

其中 \mathbb 字体还需要提前导入支持它的 amssymb 宏包才能正常渲染。

此外，由于 % 和 & 在 LaTeX 中是敏感字符，若要把它们作为逻辑或与逻辑与等符号进行排版，你必须使用：

\vee \quad \text{和} \quad \wedge

对应的渲染效果如下：

$$\vee \quad \text{和} \quad \wedge$$

如果直接在 LaTeX 中敲入 %，则会将这一行其后的所有内容直接作为注释隐藏，导致编译和显示出现异常。

如果您已经有现成的 $\LaTeX$ 代码，也可以直接使用魔法粘贴到 Liii STEM 中进行转换。