集合与逻辑

集合论和数理逻辑是现代数学的基础语言。不同领域（分析、代数、计算机科学）对符号的使用习惯有所不同。

集合运算

符号	快捷键	LaTeX
$\cup$	% Tab	\cup
$\cap$	& Tab	\cap
$\varnothing$	@ /	\varnothing

并集与交集：

$$A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ 或 } x \in B\}$$

$$A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ 且 } x \in B\}$$

德摩根定律：

$$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$$

$$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$$

包含关系

符号	快捷键	LaTeX
$\subset$	< Tab	\subset
$\subseteq$	< Tab =	\subseteq
$\supset$	> Tab	\supset
$\supseteq$	> Tab =	\supseteq

真子集与包含：

$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$$

子空间包含：

$$W \subseteq V \quad \text{（} W \text{ 是 } V \text{ 的子空间）}$$

注意区分 $\subset$（真子集，表示严格包含）和 $\subseteq$（子集，可能相等）。某些教材中 $\subset$ 也用于表示一般子集，需根据上下文判断。

属于关系

符号	快捷键	LaTeX
$\in$	< Tab	\in
$\ni$	> Tab	\ni
$\notin$	< Tab /	\notin

元素属于集合：

$$x \in \mathbb{R}, \quad i \notin \mathbb{R}, \quad \sqrt{2} \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$$

存在量词与属于结合：

$$\exists x \in \mathbb{R} \text{ 使得 } x^2 = 2$$

数集

符号	快捷键	说明
$\mathbb{N}$	N N	自然数集
$\mathbb{Z}$	Z Z	整数集
$\mathbb{Q}$	Q Q	有理数集
$\mathbb{R}$	R R	实数集
$\mathbb{C}$	C C	复数集

定义域和值域：

$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad g: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$$

数集包含链：

$$\mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{R} \subseteq \mathbb{C}$$

量词

符号	快捷键	LaTeX
$\forall$	A Tab	\forall
$\exists$	E Tab	\exists
$\neg$	! Tab	\neg

全称量词：

$$\forall x \in \mathbb{R}, \quad x^2 \geq 0$$

存在量词：

$$\exists x \in \mathbb{R} \text{ 使得 } x^2 = 2$$

否定：

$$\neg (\forall x \in A, P(x)) \Leftrightarrow \exists x \in A, \neg P(x)$$

量词后通常跟逗号或空格，多个量词连用时应明确括号。

逻辑连接词

符号	快捷键	LaTeX
$\vee$	%	\vee
$\wedge$	&	\wedge
$\Rightarrow$	= >	\Rightarrow
$\vdash$	| - Tab	\vdash
$\models$	| = Tab	\models

逻辑或/与：

$$P \vee Q \quad \text{（} P \text{ 或 } Q \text{）}$$

$$P \wedge Q \quad \text{（} P \text{ 且 } Q \text{）}$$

蕴含：

$$P \Rightarrow Q \quad \text{（} P \text{ 蕴含 } Q \text{）}$$

可推导性：

$$\Gamma \vdash \varphi \quad \text{（从 } \Gamma \text{ 可推导出 } \varphi \text{）}$$

语义蕴含：

$$\Gamma \models \varphi \quad \text{（} \Gamma \text{ 语义蕴含 } \varphi \text{）}$$

选读：与 LaTeX 的对比

Liii STEM 中 % 直接输入后按 Tab 得到 $\cup$，& Tab 得到 $\cap$。LaTeX 中 \cup 和 \cap 必须在数学环境中使用。< Tab 在集合语境下自动识别为 $\in$。LaTeX 中必须输入 \in。N N 直接得到 $\mathbb{N}$（黑板粗体）。LaTeX 中需要 \mathbb{N} 且必须加载 amssymb 宏包。% 和 & 直接输入即得逻辑符号。LaTeX 中 % 是注释符，& 是对齐符，必须放在数学环境中才能作为逻辑符号。