大力出奇迹？为什么我用很多项光滑的波去拟合方波，边缘总会“多冲一点”？

原题: 015_gibbs_phenomenon

背景

在信号处理、图像压缩和音频重建中，人们经常会用许多平滑的正弦波和余弦波去逼近一个并不平滑的周期信号。最经典的例子之一，就是把方波写成傅立叶级数。

乍看之下，随着展开项数越来越多，逼近效果似乎应该在每个位置都越来越好。但在跳跃点附近，图像总会出现一个很顽固的“多冲一点”的峰值。更有意思的是，虽然振荡区域会越来越窄，这个过冲比例却不会消失，这就是著名的 Gibbs 现象。

本题的目标，就是从最经典的方波模型出发，精确算出这个过冲极限，并说明它为什么会稳定在一个固定比例上。

相关知识点

设函数 $f(x)$ 的周期为 $2L$，则它的傅立叶级数可写为

$$f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\frac{n\pi x}{L}+b_n\sin\frac{n\pi x}{L}\right).$$

对于本题中的方波，由于它是奇函数，所以常数项和余弦项都会消失，只剩下正弦项。计算后可得

$$f(x)\sim \frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2k+1}\sin\frac{(2k+1)\pi x}{L}.$$

若只取前 $N+1$ 项，就得到傅立叶部分和

$$S_N(x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{N}\frac{1}{2k+1}\sin\frac{(2k+1)\pi x}{L}.$$

分析 Gibbs 现象的关键，不只是观察 $S_N(x)$ 的图像，而是研究它在间断点附近第一个极大值的位置与高度。常见做法是先对 $S_N(x)$ 求导，再借助三角恒等式把问题化成一个带参数的积分极限。

题目

设

$$f(x)= \begin{cases} 1, & 0<x<L, \\ -1, & -L<x<0, \end{cases}$$

并作 $2L$ 周期延拓。记它的傅立叶部分和为

$$S_N(x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{N}\frac{1}{2k+1}\sin\frac{(2k+1)\pi x}{L}.$$

请证明：当 $N\to\infty$ 时，$S_N(x)$ 在间断点 $x=0$ 右侧第一个峰值，相对于平台值 $1$ 的过冲极限为

$$\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}\frac{\sin u}{u}\,\mathrm{d}u-1,$$

并进一步说明，这个值约为

$$0.17898.$$

由于该函数在 $x=0$ 处的跳跃高度为 $2$，从而得到 Gibbs 现象中的经典比例

$$\frac{0.17898}{2}\approx 0.08949,$$

即过冲约为跳跃高度的 $8.949\%$。

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