三角形顶点出发的射线几乎必然不会经过任何顶点

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Jack Yansong Li 电子邮件: yansong@liii.pro

题目 1

证明从三角形顶点出发的射线（入射角度在360度内均匀分布），按反射定律反弹，几乎必然（以概率1）不会经过任何顶点。只有可数个特殊方向会使射线经过顶点。
Hint： 将问题转化为向实数轴扔飞镖的问题。见节 1。

1 概率为0不等于不可能！

在这一章节我们通过一个尽量严格的例子，在不引入测度论的基础上阐述这个事实。首先让我们考虑下面的问题：

问题 1. 在[0,1]这个区间内扔飞镖，击中有理数的概率是多少？

在回答问题 1 之前，我们需要先考虑下面的问题, 飞镖击中 $[a,b] \subset [0,1]$ 的概率是多少？我们采用如下的定义：

定义 1. 飞镖击中 $[a,b] \subset [0,1]$ 的概率是 $b-a$。

定义 1 看起来是如此自然，不言自明，但是很快我们会发现他带来的问题。首先，关于有理数 $q \in \mathbb{Q}$ 的一个性质：
$q=m/n$, 其中 $m$ 和 $n$ 互素且均为整数。因此[0,1]区间内的全体有理数一定位于下列的表格中：

表格 1. 全体有理数包含在其中

1/1	1/2	1/3	. . .
2/1	2/2	2/3	. . .
3/1	3/2	3/3	. . .
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\ddots$

我们可以把[0,1]区间内的全体有理数提取出来再按照对角线排序构造出如下的表格，其中 $q_1 < q_2 < \dots$

表格 2. [0,1]区间内的全体有理数

$q_1$	$q_2$	$q_4$	$q_7$
$q_3$	$q_5$	$q_8$	. . .
$a_6$	$q_9$		. . .
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\ddots$

对于任意一个 $q_i \in [0,1]$, 我们总能找到一个长度为 $\epsilon/2^i > 0$ 的区间 $I_i$ 包住 $q_i$, 即
$q_i \in I_i$, and $|I_i| = \epsilon / (2^i)$。
我们又有，
$\mathbb{P}(\text{飞镖击中有理数}) = \sum_{i=1}^{\infty} \mathbb{P}(\text{飞镖击中} q_i) < \sum_{i=1}^{\infty} \mathbb{P}(\text{飞镖击中} I_i)$
于是，
$\sum_{i=1}^{\infty} \mathbb{P}(\text{飞镖击中} I_i) \leq \sum_{i=1}^{\infty} |I_i| = \epsilon \sum_{i=1}^{\infty} 1/(2^i) = \epsilon$。

因为 $\epsilon$ 可以是任意小的一个大于0的数，因此 $\mathbb{P}(\text{飞镖击中有理数}) < \epsilon$ 意味着
$\mathbb{P}(\text{飞镖击中有理数}) = 0$。

但是实数轴上是显而易见的存在有理数点的，因此击中有理数并不是一个不可能的事件。那么造成这样的悖论是什么原因呢？实际上是因为选择公理，前文红色部分便用到了选择公理。

2 群论与对称

题目 1的解决还需要一些群论的背景知识，我们在.tmu文件中进行了补充

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