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title: Liii STEM 集合与逻辑符号参考 - 运算量词
description: Liii STEM 集合与逻辑符号完整参考，涵盖集合运算、包含关系、数集表示、全称量词、存在量词和逻辑连接词的使用方法。
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> ## Documentation Index
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# 集合与逻辑

集合论和数理逻辑是现代数学的基础语言。不同领域（分析、代数、计算机科学）对符号的使用习惯有所不同。

## 集合运算

|     符号      |  快捷键   |     LaTeX     |
| :-----------: | :-------: | :-----------: |
|    $\cup$     | `%` `Tab` |    `\cup`     |
|    $\cap$     | `&` `Tab` |    `\cap`     |
| $\varnothing$ |  `@` `/`  | `\varnothing` |

并集与交集：

$$A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ 或 } x \in B\}$$

$$A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ 且 } x \in B\}$$

德摩根定律：

$$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$$

$$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$$

## 包含关系

|    符号     |    快捷键     |    LaTeX    |
| :---------: | :-----------: | :---------: |
|  $\subset$  |   `<` `Tab`   |  `\subset`  |
| $\subseteq$ | `<` `Tab` `=` | `\subseteq` |
|  $\supset$  |   `>` `Tab`   |  `\supset`  |
| $\supseteq$ | `>` `Tab` `=` | `\supseteq` |

真子集与包含：

$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$$

子空间包含：

$$W \subseteq V \quad \text{（} W \text{ 是 } V \text{ 的子空间）}$$

注意区分 $\subset$（真子集，表示严格包含）和 $\subseteq$（子集，可能相等）。某些教材中 $\subset$ 也用于表示一般子集，需根据上下文判断。

## 属于关系

|   符号   |    快捷键     |  LaTeX   |
| :------: | :-----------: | :------: |
|  $\in$   |   `<` `Tab`   |  `\in`   |
|  $\ni$   |   `>` `Tab`   |  `\ni`   |
| $\notin$ | `<` `Tab` `/` | `\notin` |

元素属于集合：

$$x \in \mathbb{R}, \quad i \notin \mathbb{R}, \quad \sqrt{2} \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$$

存在量词与属于结合：

$$\exists x \in \mathbb{R} \text{ 使得 } x^2 = 2$$

## 数集

|     符号     | 快捷键  | 说明     |
| :----------: | :-----: | :------- |
| $\mathbb{N}$ | `N` `N` | 自然数集 |
| $\mathbb{Z}$ | `Z` `Z` | 整数集   |
| $\mathbb{Q}$ | `Q` `Q` | 有理数集 |
| $\mathbb{R}$ | `R` `R` | 实数集   |
| $\mathbb{C}$ | `C` `C` | 复数集   |

定义域和值域：

$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad g: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$$

数集包含链：

$$\mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{R} \subseteq \mathbb{C}$$

## 量词

|   符号    |  快捷键   |   LaTeX   |
| :-------: | :-------: | :-------: |
| $\forall$ | `A` `Tab` | `\forall` |
| $\exists$ | `E` `Tab` | `\exists` |
|  $\neg$   | `!` `Tab` |  `\neg`   |

全称量词：

$$\forall x \in \mathbb{R}, \quad x^2 \geq 0$$

存在量词：

$$\exists x \in \mathbb{R} \text{ 使得 } x^2 = 2$$

否定：

$$\neg (\forall x \in A, P(x)) \Leftrightarrow \exists x \in A, \neg P(x)$$

量词后通常跟逗号或空格，多个量词连用时应明确括号。

## 逻辑连接词

|     符号      |     快捷键     |     LaTeX     |
| :-----------: | :------------: | :-----------: |
|    $\vee$     |      `%`       |    `\vee`     |
|   $\wedge$    |      `&`       |   `\wedge`    |
| $\Rightarrow$ |    `=` `>`     | `\Rightarrow` |
|   $\vdash$    | `\|` `-` `Tab` |   `\vdash`    |
|   $\models$   | `\|` `=` `Tab` |   `\models`   |

逻辑或/与：

$$P \vee Q \quad \text{（} P \text{ 或 } Q \text{）}$$

$$P \wedge Q \quad \text{（} P \text{ 且 } Q \text{）}$$

蕴含：

$$P \Rightarrow Q \quad \text{（} P \text{ 蕴含 } Q \text{）}$$

可推导性：

$$\Gamma \vdash \varphi \quad \text{（从 } \Gamma \text{ 可推导出 } \varphi \text{）}$$

语义蕴含：

$$\Gamma \models \varphi \quad \text{（} \Gamma \text{ 语义蕴含 } \varphi \text{）}$$

## 选读：与 LaTeX 的对比

在 Liii STEM 中，集合与逻辑符号的输入非常智能且具有语境自适应特征。而在 LaTeX 中，由于特定键盘字符在特殊环境中具有特殊功能（如 `%` 为注释，`&` 为列对齐），排版这类符号往往必须书写繁复的长命名命令。

例如，排版集合并集与交集，Liii STEM 通过键盘原生字符 `%` `Tab` 或 `&` `Tab` 即可获得，而 LaTeX 中则必须使用数学公式标记：

```latex
\cup \quad \text{与} \quad \cap
```

对应的渲染效果如下：

$$
\cup \quad \text{与} \quad \cap
$$

在属于关系和数集的输入上，Liii STEM 能够智能地将普通上下文的 `<` `Tab` 转换成属于符号，并将双写的 `N` `N` 转化为黑板粗体的数集，而 LaTeX 中必须这样书写：

```latex
\in \quad \text{和} \quad \mathbb{N}
```

对应的渲染效果如下：

$$
\in \quad \text{和} \quad \mathbb{N}
$$

其中 `\mathbb` 字体还需要提前导入支持它的 `amssymb` 宏包才能正常渲染。

此外，由于 `%` 和 `&` 在 LaTeX 中是敏感字符，若要把它们作为逻辑或与逻辑与等符号进行排版，你必须使用：

```latex
\vee \quad \text{和} \quad \wedge
```

对应的渲染效果如下：

$$
\vee \quad \text{和} \quad \wedge
$$

如果直接在 LaTeX 中敲入 `%`，则会将这一行其后的所有内容直接作为注释隐藏，导致编译和显示出现异常。

**如果您已经有现成的 $\LaTeX$ 代码，也可以直接使用[魔法粘贴](../tutorial/tuto-magic-paste.md)到 Liii STEM 中进行转换。**