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title: Liii STEM 大型算子参考 - 求和积分并集交集
description: Liii STEM 大型算子完整参考，详解求和、积分、并集、交集等大型算子的输入方法、上下标位置调整与结构化编辑技巧。
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> ## Documentation Index
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# 极限与大运算符

大运算符是数学公式中常见的大型符号，包括极限、求和、积分等。它们的特点是上下标位置在运算符的上方和下方（行间公式）或右侧（行内公式）。

## 极限

详细教程请参阅：[如何输入极限的下标](../howtos/how-to-input-limits.md)

输入 `lim` 后按 `\_` 添加下标，下标条件自动显示在正下方。使用 `Tab` 可在极限主体和条件之间切换。

$$\lim_{x \to \infty} f(x)$$

函数极限：

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$

数列极限：

$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$$

单侧极限：

$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty, \quad \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$$

即使在行内公式中，也可以通过 `Alt` + `\_` 强制下标显示在正下方。

## 求和

按 `S` `Shift` + `Tab` 创建求和符号。下标为起始值，上标为终止值。在行内显示时上下标在右侧。

$$\sum_{i=1}^{n} a_i$$

有限和：

$$\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$$

无穷级数：

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$$

多重求和：

$$\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} a_{ij}$$

## 累乘

按 `P` `Shift` + `Tab` 创建累乘符号。

$$\prod_{i=1}^{n} a_i$$

阶乘：

$$n! = \prod_{k=1}^{n} k$$

素数乘积：

$$\prod_{p \text{ prime}} \frac{1}{1 - p^{-s}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}$$

## 积分

单重积分按 `I` `Tab`，二重积分按 `I` `I` `Tab`，三重积分按 `I` `I` `I` `Tab`，曲线积分按 `@` `I`。

$$\int_a^b f(x) \, dx$$

$$\iint_D f(x,y) \, dA$$

定积分：

$$\int_0^{\pi} \sin x \, dx = 2$$

反常积分：

$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$$

曲面积分：

$$\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$$

## 大型并集与交集

并集按 `U` `Shift` + `Tab`，交集按 `N` `Shift` + `Tab`。用于多个集合的并/交运算，与小型 $\cup$ / $\cap$ 的区别在于尺寸和上下标位置。

$$\bigcup_{i=1}^{n} A_i$$

$$\bigcap_{i=1}^{n} A_i$$

集合的无限并：

$$\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n = A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup \cdots$$

开集的交：

$$\bigcap_{i \in I} U_i$$

## 选读：与 LaTeX 的对比

在 Liii STEM 中，大型算子（如求和、积分、极限等）是完全结构化的排版环境。你可以像普通文本一样，在内部随意地用 `Tab` 键跳转并修改上下限。而在 LaTeX 中，每个大型算子都需要一长串代码声明。

例如，在 LaTeX 中书写带上下标的求和公式，需要输入：

```latex
\sum_{i=1}^{n} a_i
```

对应的渲染效果如下：

$$
\sum_{i=1}^{n} a_i
$$

在 Liii STEM 中，行内公式也支持通过 `Alt` + `_`（底标）将上下标放置在正下方；而在 LaTeX 中，行内公式默认会将上下标压缩到右侧，若要强制在正下方排版，通常需要加入 `\limits` 声明：

```latex
\sum\limits_{i=1}^{n} a_i
```

对应的渲染效果如下：

$$
\sum\limits_{i=1}^{n} a_i
$$

排版极限时，Liii STEM 通过结构化下标实现位置自适应。而在 LaTeX 中需要输入：

```latex
\lim_{x \to \infty} f(x)
```

对应的渲染效果如下：

$$
\lim_{x \to \infty} f(x)
$$

对于积分排版，Liii STEM 支持通过简写 `I` `Tab` 或 `I` `I` `Tab` 智能输入一重、二重、三重积分和曲线积分。但在 LaTeX 中，为了追求完美的行间距和符号间距，常需要手动写出：

```latex
\int_a^b f(x) \, dx \quad \text{或} \quad \iint_D f(x,y) \, dA
```

对应的渲染效果如下：

$$
\int_a^b f(x) \, dx \quad \text{或} \quad \iint_D f(x,y) \, dA
$$

如果不手动添加 `\,`（薄空格），微分项 $dx$ 就会和被积函数粘连在一起。

**如果您已经有现成的 $\LaTeX$ 代码，也可以直接使用[魔法粘贴](../tutorial/tuto-magic-paste.md)到 Liii STEM 中进行转换。**