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title: Liii STEM 数学模式完全指南 - 符号快捷键大全
description: Liii STEM 数学模式完全指南，包含数学环境、高效输入技巧、Tab循环、常用数学结构和符号大全。
keywords: Liii STEM, 数学模式, 数学公式, LaTeX, 公式编辑, Tab 循环, 乐高符号, 高效输入
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> ## Documentation Index
> Fetch the complete documentation index at: https://liiistem.cn/docs/llms.txt
> Use this file to discover all available pages before exploring further.
# 数学模式完全指南：符号、结构、快捷键一网打尽
Liii STEM 设置了独立的**数学模式**，支持数学公式**编辑**、**编号**和**引用**，还集成**乐高符号**、**Tab 循环**和**魔法粘贴**等快捷方式，经过大概一周的练习，您可以实现几乎媲美手写的编辑速度。
如果您是资深的 $\LaTeX$ 用户，那么您的公式编写经验大部分都可以在 Liii STEM 中复用，请参阅 [LaTeX 用户指南](latex-user-guide.md) 的第 6 节后再回头快速浏览完这篇文章。
## 1 怎样进入数学模式？
### 1.1 文本模式与数学模式的区别
在 Liii STEM 中，基础的文档编辑分为**文本模式**和**数学模式**两种核心状态：
- **文本模式**：默认编辑状态，用于撰写正文、标题、段落、表格、图片等常规内容。
- **数学模式**：专门用于编辑数学公式，进入后输入的字符会按数学排版规则自动处理（如字母斜体、符号间距调整等）。
请牢记（看似是废话的）一句话：**所有数学相关的内容都需要在数学模式下书写！**
> 顶部工具栏从上到下依次为 _菜单栏_，_模式工具栏_， _焦点工具栏_。
> 通过模式工具栏便可以判断您当前处于何种模式。
我们在数学模式下提供四种基础环境，_行内公式_，_单行公式_，_多行公式（align）_，和 _多行公式（eqnarray）_ 环境，所有这些环境都可以通过点击文本模式下模式工具栏上的 `π` 键，然后选择对应环境进入。后文不再赘述此方式。
### 1.2 行内公式
将光标置于需要插入公式的位置，按 `$` 即可进入**数学模式** 下的 **行内公式**环境，此环境用于公式与正文混排。
**示例（行内公式）**：输入 `$` 后键入 `E=mc^2`，即可得到 $E=mc^2$。输入完成后按方向键退出。
> **提示**：快捷键只在英文输入法下生效。如果忘记了快捷键，可以查看 `插入` → `数学` 菜单中的提示。
### 1.3 单行公式
按 `Alt`+`$`（macOS 为 `Option`+`$`）即可插入**单行独立数学公式**，默认居中显示，与正文分开。
**示例（单行公式）**：按 `Alt`+`$` 插入单行独立数学公式：
$$e^{i\pi} + 1 = 0$$
如需编号，可在焦点工具栏点击 `123` 键，或按 `Ctrl`+`#`。
### 1.4 多行公式环境
按 `Ctrl`+`$` 即可进入**多行公式环境 (align)** （试试看直接敲 `\align` 然后回车）。换行按 `Enter`，对齐是全自动的，无需手动插入 `&`。
**示例（多行公式）**：
$$\begin{aligned} f(x) &= (x+1)^2 \\ &= x^2 + 2x + 1 \end{aligned}$$
> **提示**：如需为公式添加或取消编号，可使用焦点工具栏的 `123` 键或按 `Ctrl`+`#`。
> 我们还提供 `\eqnarray` 类型的多行公式环境，可以通过 `Ctrl` + `&` 进入。也可以通过敲 `\eqnarray` 后回车进入。
## 2 怎样高效输入数学符号？Liii STEM 输入法！
在 Liii STEM 中，输入数学符号至少有三种途径：点击**模式工具栏**上的图标菜单、使用键盘快捷键（事实上这更接近于一套全新的学习成本极低的输入法），或直接键入 $\LaTeX$ 命令。例如，要输入符号 $\leqslant$，既可以在模式工具栏的符号菜单中查找，也可以直接使用乐高符号 `<` `=`，熟悉 $\LaTeX$ 的用户还可以键入 `\leqslant` 后回车。下文不再赘述 $\LaTeX$ 命令和鼠标点击的输入方式。
> 当鼠标悬停在工具栏图标上时，对应的快捷键也会以提示气泡的形式显示。
下文重点介绍 Liii STEM 的“输入法”——乐高符号、Tab 循环与 Alt+Shift+↓ 循环。经过短短一周的练习，您的输入效率便可媲美手写。
### 2.1 乐高符号与 Tab 循环
Liii STEM 提供了两种核心的快捷输入机制：
- **乐高符号**：通过字符拼接生成新符号，规则采用图形化设计思路。例如 `<` 和 `>` 表示方向，`@` 表示圆圈，输入 `<` `=` 可立刻得到 $\leqslant$。
- **Tab 循环**：在形似符号或音似符号间循环切换。例如输入 `f` 后按 `Tab` 可依次得到 $f$, $\phi$, $\varphi$ 后循环回 $f$，按 `Shift` + `Tab` 可逆向切换。下文表格中统一只标注一次 `Tab`，实际需要按几次取决于目标符号在循环中的位置。
这两种机制还可以**组合使用**：先通过乐高符号拼接出基础符号，再按 `Tab` 在其变体间循环。例如输入 `RR` 得到 $\mathbb{R}$，继续按 `Tab` 即可在 $\mathcal{R}$、$\mathscr{R}$、$\mathfrak{R}$、$\mathbf{R}$ 等变体间切换。
> 下面给出一些示例。完整的符号列表请见 [Liii STEM 的键盘快捷键](../keyboard-shortcuts.md)。
| 符号效果 | 输入方式 | 符号效果 | 输入方式 |
| :-------------------------------- | :-------------------------- | :------------------------------------------- | :------------------- |
| $\rightarrow$ / $\longrightarrow$ | 拼接：`- >` / `- - >` | $\alpha$ / $\forall$ | `a` `Tab`/ `A` `Tab` |
| $\leqslant$ / $\nleqslant$ | 拼接：`<` `=` / `<` `=` `/` | $\leq$, $\Leftarrow$ | `<` `=` `Tab` |
| $\infty$ | 拼接：`@` `@` | $\Delta$, $\nabla$ | `D` `Tab` |
| $\oplus$ / $\otimes$ | 拼接：`@` `+` / `@` `*` | $\in$, $\subset$ , $\langle$ | `<` `Tab` |
| $\mathbb{R}$ | 拼接：`R` `R` | $\mathcal{R}$, $\mathscr{R}$, $\mathfrak{R}$ | `R` `R` `Tab` |
### 2.2 Alt+Shift+↓ 循环
与 Tab 循环在单个字符变体间切换不同，**Alt+Shift+↓ 循环**用于在相似的**环境或结构**之间快速切换。将光标置于环境中，按 `Alt`+`Shift`+`↓` 即可遍历相关变体。
在数学公式编辑中，以下场景的切换最为常用：
| 场景 | 可循环的变体 |
| --------- | --------------------------------------------- |
| 公式类型 | 行内公式 `$` ↔ 单行公式 `Alt+$` |
| 括号风格 | $(x)$ ↔ $[x]$ ↔ $\{x\}$ ↔ $\langle x \rangle$ |
| 矩阵/表格 | 普通矩阵 ↔ 行列式 ↔ Bmatrix ↔ 分段函数 |
| 上下标 | 上标 `^` ↔ 下标 `_`（当仅有上标或仅有下标时） |
> 更多关于章节层级、语义块等非数学场景的切换，请参阅 [高效编辑指南](guide-tab.md)。
### 2.3 选读：等价类
> 本节利用类似群论的语言解释 `Tab` 循环和 `Alt`+`Shift`+`↓` 循环的设计原理。若您对代数学感兴趣，读完会发现这两种循环本质上就是循环群。因此我们实际上是利用数学设计了一种方便输入符号的方式！
#### 定义（Tab 等价类）
我们称符号 $a$ 和 $b$ 为 $c$ 的同类元素，如果他们可以通过 $c$ 的 Tab 循环得到（其中 $c$ 不需要敲 Tab 得到）。$c$ 的所有同类元素构成的集合称为 $c$ 的 **Tab 等价类**，标记为 $[c]$。
现在你再也不用区分 ${\hbar}$ 和 $h$ 了，他们都是 $h$ 的同类元素，事实上 $[h] = \{ h, \eta, \hbar \}$。我们再给一些例子。
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#### 示例：Tab 等价类
键盘上所有的英文字母都对应希腊字母，根据上述定义，我们列举部分：
- $[a] = \{ a, \alpha \}$, $[b] = \{ b, \beta, \flat \}$, $[p] = \{ p, \pi, \pi, \varpi \}$, $[j] = \{ j, \theta, \jmath, \vartheta \}$
- $[f] = \{ f, \varphi, \phi \}$, $[F] = \{ F, \Phi \}$
- $[d] = \{ d, \delta, \mathrm{d}, \partial \}$, $[D] = \{ D, \Delta, \mathrm{D}, \daleth, \nabla \}$
- $[s] = \{ s, \sigma, \varsigma \}$, $[S] = \left\{ S, \Sigma, \sum \right\}$
根据上述定义，我们列举部分逻辑与关系符号：
- $[A] = \{ A, \forall, \aleph \}$，这里 $\aleph$ 之所以在 $A$ 的等价类里是因为这个符号名字叫阿列夫。
- $[E] = \{ E, \exists, \exists \}$
- $\left[ \texttt{<=} \right] = \{ \leqslant, \leq, \leqq, \Leftarrow, \Lleftarrow \}$， $\left[ \texttt{>=} \right] = \{ \geqslant, \geq, \geqq \}$
有些循环符号比较多，不重要的用 $\ldots$ 代替：
- $\left[ \texttt{I} \right] = \left\{ I, \int, \mathrm{I}, \Im \right\}$
- $\left[ \texttt{II} \right] = \left\{ \mathbb{I}, \iint, \mathcal{I}, \ldots \right\}$
- $\left[ \texttt{III} \right] = \left\{ \mathrm{III}, \iiint \right\}$
- $\left[ \texttt{*} \right] = \{ \times,, \ast, \cdot, \wedge, \star \}$，其中第二个元素是个不可见乘号，符号计算的时候常用。
活用 `~`：
- $\left[ \sim\sim \right] = \{ \approx, \Bumpeq \}$， $\left[ \sim = \right] = \{ \cong \}$
- $\left[ \texttt{@*} \right] = \left\{ \otimes, \bigotimes \right\}$
- $[\texttt{alt+t}] = \left\{ \begin{array}{cc} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{array}, \left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{array}\right), \left|\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{array}\right|, \left\{\begin{array}{ll} x \leq 0 \\ x < 0 \end{array}\right., \begin{array}{c} y \in \mathcal{Y}\\ x \in \mathcal{X} \end{array}, \left[\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{array}\right] \right\}$
全部都是粗体等价类：
- $\left[ \texttt{RR} \right] = \{ \mathbb{R}, \mathcal{R}, \mathscr{R}, \mathfrak{R}, \boldsymbol{R}, \mathrm{R}, \mathbf{R} \}$
- $\left[ \texttt{AA} \right] = \{ \mathbb{A}, \mathcal{A}, \mathscr{A}, \mathfrak{A}, \boldsymbol{A}, \mathrm{A}, \mathbf{A} \}$
- $\vdots$
#### 定义（Alt+Shift+↓ 等价类）
同理，我们称环境 $A$ 和环境 $B$ 互为**同类环境**，如果它们可以通过 `Alt`+`Shift`+`↓` 循环相互切换。一个环境的所有同类环境构成的集合称为它的 **Alt+Shift+↓ 等价类**。
以下是数学场景中常见的等价类：
- $[\text{行内公式}] = \{ \text{行内公式},\ \text{单行公式} \}$
- $[\text{圆括号}] = \{ (x),\ [x],\ \{x\},\ \langle x \rangle \}$
- $[\text{矩阵}] = \{ \text{矩阵},\ \text{行列式},\ \text{Bmatrix},\ \text{分段函数} \}$
- $[\text{定理}] = \{ \text{命题},\ \text{推论},\ \text{引理} \}$
## 3 怎样输入常用数学结构？
> 在Liii STEM 中您可以把结构理解成一种特殊的环境。
> **结构化包裹**：在 Liii STEM 中，如果您先**选中**一段内容，再插入任何数学结构（括号、分数、根号、上下标等），选中的内容会被**自动包裹**进新环境，而不会被删除。
>
> 例如：选中 `a` 后按 `(` 得到 $(a)$；选中 `a+b` 后按 `Alt`+`f` 得到 $\frac{a+b}{\phantom{1}}$；在 $ax$ 里选中 `x` 后按 `^` 得到 $a^{x}$（光标位于上标位置）。这个逻辑适用于本节介绍的所有结构。
### 3.1 上标，下标，顶标和底标
在数学模式下，使用 `^` 键创建上标，`_` 键创建下标。例如，键入 `a` `_` `n` 得到 $a_n$，键入 `x` `^` `2` 得到 $x^2$。
> **与 $\LaTeX$ 的区别**：在 $\LaTeX$ 中，上下标是纯文本标记（`a^1_2`），输入顺序由编译器统一解析。而在 Liii STEM 中，**上标和下标各自是一个独立的环境**（所见即所得的结构化编辑）。因此，输入完上标后需要按 `→` 退出当前环境，才能继续输入下标或返回基线。这赋予了您对公式结构的精确控制——上下标的输入顺序直接决定了语义层次。更多关于公式语义的内容请参阅 [8.1 为什么需要语义编辑](#81-为什么需要语义编辑)。
**同时带有上下标**：先输入上标或下标均可，顺序不影响渲染，但对语义有影响。例如 `a` `_` `n` `→` `^` `2` 得到 $a_n^2$（表示 $(a_n)^2$），而 `a` `^` `2` `→` `_` `n` 则意味着 $(a^2)_n$。
**多重嵌套**：键入 `a` `^` `b` `^` `c` 得到 $a^{b^c}$。输入完成后按 `→` 键退出上标环境，再输入 `+` `b` `_` `n` 即可继续编辑 $a^{b^c} + b_n$。
**撇号（'）与双撇号（"）**：输入导数或共轭等符号时，可以直接敲 `'` 或 `"`，_无需进入上标环境_。例如 `a` `'` `+` `b` 直接得到 $a' + b$，而输入 $a^2 + b$ 则需要 `a` `^` `2` `→` （先退出上标环境） `+` `b`。
继续按 `Tab` 可在撇号的多种变体间循环：
| 单撇号变体 | 示例 | 输入 | 双撇号变体 | 示例 | 输入 |
| :--------- | :--------------- | :------------ | :---------- | :--------------------------- | :------------ |
| 撇号 | $a'$ | `a` `'` | 双撇号 | $a''$ | `a` `"` |
| 反撇号 | $a^{\backprime}$ | `a` `'` `Tab` | 双反撇号 | $a^{\backprime\backprime}$ | `a` `"` `Tab` |
| 星号 | $a^*$ | `a` `'` `Tab` | 双星号 | $a^{\mathord{*}\mathord{*}}$ | `a` `"` `Tab` |
| 五角星号 | $a^\star$ | `a` `'` `Tab` | 双五角星号 | $a^{\star\star}$ | `a` `"` `Tab` |
| dagger | $a^\dagger$ | `a` `'` `Tab` | 双 dagger | $a^{\dag\dag}$ | `a` `"` `Tab` |
| 双 dagger | $a^‡$ | `a` `'` `Tab` | 双双 dagger | $a^{\ddag\ddag}$ | `a` `"` `Tab` |
**切换上下标**：如果一个公式中只有上标（如 $x^2$）或只有下标（如 $a_n$），将光标置于该环境中按 `Alt`+`Shift`+`↓` 可直接在上标和下标之间切换，无需删除重建。这背后的原理是：上标和下标互为**同类环境**，属于同一个 **Alt+Shift+↓ 等价类**，详情请参阅 [2.2 Tab 循环与 Alt+Shift+↓ 循环](#22-tab-循环与-altshift-循环)。
**正上方与正下方**：普通上下标（`^` / `_`）默认放在右上方和右下方。如果需要在任意元素的**正上方**或**正下方**添加标注，可使用：
- **顶标**（正上方）：`Alt`+`a`（或 `Option`+`a`），例如 $\overset{n \to \infty}{\longrightarrow}$
- **底标**（正下方）：`Alt`+`b`（或 `Option`+`b`），例如 $\underset{x \in A}{\max} f(x)$
> 更多关于左上标、左下标、顶标、底标的详细教程请参阅 [如何在 Liii STEM 中输入上下标、左上标、左下标、顶标、底标](howtos/how-to-input-scripts.md)。
**大算子的上下标**：对于积分、求和等显示公式中的大算子，上下标会自动放在算子的正上方和正下方：
$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} \quad \int_0^{\infty} \frac{dx}{1+x^2}$$
> 关于大算子在行内公式与显示公式中的渲染差异，以及如何强行将上下标放在正上方/正下方，请参阅 [6.1 大算子](#61-大算子)。
### 3.2 分数
按 `Alt`+`f`（或 `Option`+`f`）插入分数。Liii STEM 会自动创建分子和分母两个输入位置，您可以直接键入内容。
**分数的变体**：将光标置于分数环境中，按 `Alt`+`Shift`+`↓` 可循环切换不同类型的分数：
| 分数类型 | 效果 | 切换方式 |
| :------- | :----------------------------------- | :----------------------- |
| 普通分数 | $\frac{a}{b+c}$ | `Alt`+`f`（默认） |
| 行内分数 | $a/(b+c)$ | `Alt`+`Shift`+`↓` |
| 斜杠分数 | $1/2$ | 继续按 `Alt`+`Shift`+`↓` |
| 连分数 | $1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cdots}}$ | 继续按 `Alt`+`Shift`+`↓` |
> **提示**：您也可以直接输入 `/` 作为一维分数，或通过 `/` `Tab` 得到 $:$ 和 $\div$。
### 3.3 根号
按 `Alt`+`s`（或 `Option`+`s`）插入平方根。例如 `Alt`+`s` `x` 得到 $\sqrt{x}$。
**n 次方根**：输入 `Alt`+`s` `Tab` 切换到 n 次根，然后键入被开方数，再按 `Alt`+`←` 回到次数位置填入 $n$：
$$\sqrt[3]{x}$$
> **提示**：如果忘记先填次数，也可以在 $\sqrt{x}$ 中按 `Alt`+`→` 添加次数位置，按 `Backspace` 则可删除次数。
### 3.4 矩阵， 行列式，分段函数
按 `Alt`+`t`（或 `Option`+`t`）插入一个 $1 \times 1$ 的表格结构。在数学模式下，这是一个居中的无框表格。按 `Tab` 可循环切换为矩阵、行列式、Bmatrix、分段函数等变体。
**编辑矩阵**：
| 操作 | 快捷键 |
| :------- | :--------------------------- |
| 增加列 | `Alt`+`→` |
| 增加行 | `Alt`+`↓` |
| 删除行列 | `Alt`+`Backspace` / `Delete` |
| 切换变体 | `Alt`+`Shift`+`↓` |
**示例**：
$$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \quad \begin{vmatrix} x & y \\ z & w \end{vmatrix},\quad f(x) = \begin{cases} 1, & x > 0 \\ 0, & x \le 0 \end{cases}$$
### 3.5 取消环境（Ctrl+Backspace）
在 Liii STEM 中，`Ctrl`+`Backspace` 是**取消当前环境**的快捷键——它会将您所在的结构拆散，保留其中的内容，但移除外层的结构标记。
这个功能不仅适用于数学公式中的分数、根号、括号、上下标等，同样适用于文本模式中的**节标题**、**语义块**（定理、引理、证明等）、**列表项**、**折叠框**等各种环境。只要您处于某个环境内部，`Ctrl`+`Backspace` 就可以将其"打平"为普通文本。
> **试一试**：在 $\LaTeX$ 中取消一个结构通常需要手动删除 `\begin{}...\end{}` 或 `{}`。而在 Liii STEM 中，只需按 `Ctrl`+`Backspace` 即可一键取消，然后重新用其他结构包裹。这种"随时取消、随时重建"的灵活性正是结构化编辑的优势所在。
| 原始结构 | 效果 | 按 `Ctrl`+`Backspace` 后 |
| :----------------- | :--------------------------------------------- | :----------------------- |
| 分数 $\frac{a}{b}$ | $\frac{a}{b}$ | $a$ |
| 根号 $\sqrt{x}$ | $\sqrt{x}$ | $x$ |
| 括号 $(a+b)$ | $(a+b)$ | $a+b$ |
| 上标 $x^2$ | $x^2$ | $x2$ |
| 下标 $a_n$ | $a_n$ | $an$ |
| 矩阵/行列式 | $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ | $a$ |
> **提示**：如果只是想让光标**退出**当前环境而不取消结构，请按 `→` 方向键。`Ctrl`+`Backspace` 则是彻底**拆除**当前环境。如果您需要保留内容但换一种结构（如将圆括号改为方括号），也可以用 `Alt`+`Shift`+`↓` 在同类环境间循环切换，请参阅 [2.2 Tab 循环与 Alt+Shift+↓ 循环](#22-tab-循环与-altshift-循环)。
## 4 怎样输入特殊符号？
> 这里只介绍常用的符号，完整列表请参阅 [Liii STEM 的键盘快捷键](../keyboard-shortcuts.md) 。
### 4.1 希腊字母
在数学模式下，输入英文字母后按 `Tab` 即可得到对应的希腊字母。例如 `a` `Tab` 得到 $\alpha$，`A` `Tab` 得到 $\forall$（在逻辑上下文）或 $\Alpha$。
> **提示**：希腊字母的 Tab 等价类通常包含该字母的多种变体。按多次 `Tab` 可循环切换。
| 符号 | 输入 | 符号 | 输入 |
| :------------------------- | :-------------------- | :------------------------- | :-------------------- |
| $\alpha$ | `a` `Tab` | $\beta$ | `b` `Tab` |
| $\gamma$ / $\Gamma$ | `g` `Tab` / `G` `Tab` | $\delta$ / $\Delta$ | `d` `Tab` / `D` `Tab` |
| $\epsilon$ / $\varepsilon$ | `e` `Tab` | $\zeta$ | `z` `Tab` |
| $\eta$ | `h` `Tab` | $\theta$ / $\Theta$ | `j` `Tab` / `J` `Tab` |
| $\iota$ | `i` `Tab` | $\kappa$ | `k` `Tab` |
| $\lambda$ / $\Lambda$ | `l` `Tab` / `L` `Tab` | $\mu$ | `m` `Tab` |
| $\nu$ | `n` `Tab` | $\xi$ / $\Xi$ | `x` `Tab` / `X` `Tab` |
| $\pi$ / $\Pi$ | `p` `Tab` / `P` `Tab` | $\rho$ | `r` `Tab` |
| $\sigma$ / $\Sigma$ | `s` `Tab` / `S` `Tab` | $\tau$ | `t` `Tab` |
| $\upsilon$ / $\Upsilon$ | `u` `Tab` / `U` `Tab` | $\phi$, $\varphi$ / $\Phi$ | `f` `Tab` / `F` `Tab` |
| $\chi$ | `q` `Tab` | $\psi$ / $\Psi$ | `y` `Tab` / `Y` `Tab` |
| $\omega$ / $\Omega$ | `w` `Tab` / `W` `Tab` | | |
### 4.2 数学字体（黑板粗体、花体、哥特体）
Liii STEM 支持多种数学字体。最通用的方式是**敲两下字母后按 `Tab` 循环**：
| 字母大小写 | 效果示例 | 输入方式 |
| :--------- | :-------------------------------------------------------------------------- | :----------------- |
| 大写字母 | $\mathbb{R}$ / $\mathcal{R}$ / $\mathfrak{R}$ / $\mathbf{R}$ / $\mathrm{R}$ | `R` `R` `Tab` 循环 |
| 小写字母 | $\mathbb{r}$ / $\mathcal{r}$ / $\mathfrak{r}$ / $\mathbf{r}$ / $\mathrm{r}$ | `r` `r` `Tab` 循环 |
> **提示**：黑板粗体、花体、哥特体、粗体、直立等字体全部可以通过 `AA` `Tab` 或 `aa` `Tab` 循环切换得到，无需记忆不同的功能键前缀。
### 4.3 常用数学常数
| 常数 | 效果 | 输入 |
| :--------------------- | :------------ | :-------- |
| 圆周率 $\pi$ | $\pi$ | `p` `Tab` |
| 自然常数 $e$ | $\mathrm{e}$ | `e` `Tab` |
| 虚数单位 $i$ | $\mathrm{i}$ | `i` `Tab` |
| 微分符号 $\mathrm{d}$ | $\mathrm{d}$ | `d` `Tab` |
| 偏导符号 $\partial$ | $\partial$ | `d` `Tab` |
| 约化普朗克常量 $\hbar$ | $\hbar$ | `h` `Tab` |
| 手写体 $\ell$ | $\ell$ | `l` `Tab` |
| 无穷大 $\infty$ | $\infty$ | `@` `@` |
| 空集 $\varnothing$ | $\varnothing$ | `@` `/` |
> **与 $\LaTeX$ 的区别**：在 $\LaTeX$ 中，单字母算子通常用 `\mathrm{d}`、`\mathrm{e}`、`\mathrm{i}` 表示，其中 `\mathrm` 的作用是将字母排成正体算子样式。在 Liii STEM 中，**不需要 `\mathrm` 命令**——直接敲 `sin`、`cos`、`lim` 等多字母组合，系统会自动识别为算子（详见 [8.2 同形异义符与不可见运算符](#82-同形异义符与不可见运算符)）。
>
> 但单字母的情况比较特殊：在数学模式下，单个字母（如 `d`）默认是斜体变量，而两个连续字母（如 `dx`）会被识别为算子。因此如果要输入微分符号 $\mathrm{d}x$，需要先按 `d` `Tab` 将单字母 `d` 切换为直立算子形式，再输入 `x`。上表中的 `e` `Tab`、`i` `Tab`、`d` `Tab` 正是为此设计的：将单字母从斜体变量切换为直立常数/算子。对于任何单字母算子，都可以先试一试 `Tab` 循环。
### 4.4 运算符与关系符
**基本运算符**：直接输入 `+`、`-`、`*`、`/` 即可。`*` 默认表示 $\times$（叉乘），按 `Tab` 可切换为不可见乘法、$\cdot$、$\ast$、$\wedge$、$\star$。
> **不可见乘法**：在 Liii STEM 中，相邻的字母会被自动识别为算子（如 `ab` 类似 $\LaTeX$ 的 `\mathrm{ab}`），**不会**自动表示乘法。如果需要不可见乘法，应先输入 `*`，再按 `Tab` 切换为不可见形式，然后输入后续内容：例如 `a` `*` `Tab` `b` 得到 $ab$（表示 $a$ 乘以 $b$）。如果只是需要视觉间距而不关心语义，也可以直接敲空格。
>
> 为什么需要区分？在符号计算中，`ab`（算子名）和 `a * Tab b`（乘法）的语义完全不同——前者在 Python 中是一个变量名，后者是两个数相乘。详见 [8.2 同形异义符与不可见运算符](#82-同形异义符与不可见运算符)。
**关系符**：
| 符号 | 输入 | 符号 | 输入 |
| :------------------- | :---------------- | :------------------- | :---------------- |
| $\leq$ / $\leqslant$ | `<` `=` `Tab` | $\geq$ / $\geqslant$ | `>` `=` `Tab` |
| $\neq$ | `=` `\` | $\approx$ | `~` `~` |
| $\equiv$ | `=` `Tab` | $\cong$ | `~` `=` |
| $\sim$ | `~` | $\simeq$ | `~` `-` |
| $\propto$ | `@` `@` `Tab` | $\ll$ / $\gg$ | `<` `<` / `>` `>` |
| $\pm$ / $\mp$ | `+` `-` / `-` `+` | $\cdot$ | `*` `Tab` |
| $\times$ | `*` `Tab` | $\div$ | `/` `Tab` |
| $\oplus$ / $\ominus$ | `@` `+` / `@` `-` | $\otimes$ / $\odot$ | `@` `*` / `@` `.` |
### 4.5 箭头与定界符
**箭头**：
| 符号 | 输入 | 符号 | 输入 |
| :------------- | :----------- | :------------------------ | :--------------- |
| $\rightarrow$ | `-` `>` | $\longrightarrow$ | `-` `-` `>` |
| $\Rightarrow$ | `=` `>` | $\Longrightarrow$ | `=` `=` `>` |
| $\leftarrow$ | `<` `-` | $\leftrightarrow$ | `<` `-` `>` |
| $\mapsto$ | `\|` `-` `>` | $\longmapsto$ | `\|` `-` `-` `>` |
| $\leadsto$ | `~` `>` | $\uparrow$ / $\downarrow$ | `<` `-` `Tab` |
| $\nrightarrow$ | `-` `>` `/` | $\nRightarrow$ | `=` `>` `/` |
> **提示**：在可扩展箭头（如 $\rightarrow$）上方添加标签，直接按 `^` 输入上标即可。
**定界符**：
| 符号 | 输入 | 符号 | 输入 |
| :---------------- | :-------- | :-------------- | :-------- |
| $\langle \rangle$ | `<` `Tab` | $\|$ | `\|` `\|` |
| $\lfloor \rfloor$ | `\|` `.` | $\lceil \rceil$ | `\|` `'` |
### 4.6 集合与逻辑符号
**集合**：
| 符号 | 输入 | 符号 | 输入 |
| :-------------- | :-------------------- | :---------------------- | :------------------------ |
| $\in$ | `<` `Tab` | $\subset$ / $\subseteq$ | `<` `Tab` / `<` `=` `Tab` |
| $\cup$ / $\cap$ | `%` `Tab` / `&` `Tab` | $\emptyset$ | `@` `/` |
| $\mathbb{R}$ | `R` `R` | $\mathbb{Z}$ | `Z` `Z` |
| $\mathbb{Q}$ | `Q` `Q` | $\mathbb{N}$ | `N` `N` |
| $\mathbb{C}$ | `C` `C` | | |
**逻辑**：
| 符号 | 输入 | 符号 | 输入 |
| :------------ | :------------- | :---------------- | :------------- |
| $\forall$ | `A` `Tab` | $\exists$ | `E` `Tab` |
| $\neg$ | `!` `Tab` | $\wedge$ / $\vee$ | `&` / `%` |
| $\vdash$ | `\|` `Tab` `-` | $\models$ | `\|` `Tab` `=` |
| $\Rightarrow$ | `=` `>` | $\Leftrightarrow$ | `<` `=` `>` |
## 5 怎样排版多行公式？
> 在多行公式或单行公式环境中，按 `Ctrl`+`#`（或点击焦点工具栏的 `123` 键）可为当前行添加或移除编号。
### 5.1 多行公式（align）
按 `Ctrl`+`$` 进入多行公式（`align`）环境。与 $\LaTeX$ 的 `align` 不同，您**无需手动对齐**——换行后系统会自动对齐等号或其他关系符。
**示例**：
$$\begin{aligned} f(x) &= (x+1)^2+ 0 \qquad \qquad \qquad \qquad (1) \\ &= x^2 + 2x + 1 \qquad \qquad \qquad \qquad (2) \\ &= x(x+2) + 1 \qquad \qquad \qquad \qquad (3)\end{aligned}$$
输入步骤：
1. 按 `Ctrl`+`$` 进入多行公式环境
2. 键入 `f(x) =` 后右方向键进入右边列 `(x+1)^2`
3. 按 `Enter` 换行
4. 键入 `=` 后右方向键进入右边列 `x^2 + 2x + 1`
5. 继续按 `Enter` 添加新行
> **与 $\LaTeX$ 的区别**：在 $\LaTeX$ 的 `align` 环境中，每行分为**两列**，运算符需要放在对齐点 `&` **右侧**（如 `f(x) &= ...`）。而在 Liii STEM 中，您只需按自然书写习惯将 `=`、$\leq$、$\geq$ 等关系符打在**左侧**（即公式行内），系统会自动识别并对齐。
>
> 在 Liii STEM中敲多行公式永远不需要手动对齐和换行！
### 5.2 多行公式（eqnarray）
按 `Ctrl`+`&` 进入多行公式（`eqnarray`）环境。与 `align` 不同，`eqnarray` 每行分为**三列**：
- **左列**：等号左侧的表达式
- **中列**：关系符（`=`、`$\leq$`、`$\geq$` 等）
- **右列**：等号右侧的表达式
**示例 (注意到等号两边间距更大)**：
$$\begin{array}{rcl} f(x) & = & (x+1)^2 \\ & = & x^2 + 2x + 1 \\ & = & x(x+2) + 1 \end{array}$$
输入步骤与 `align` 相同，直接键入内容后按 `Enter` 换行即可。`eqnarray` 适合需要严格区分左中右三列的排版场景。
> **为什么 $\LaTeX$ 用户被建议使用 `align` 而非 `eqnarray`**：在 $\LaTeX$ 中，`eqnarray` 存在等号两侧间距不一致的问题（不同环境下空格大小可能不同），因此被社区广泛弃用。但在 Liii STEM 中，**没有这个问题**——您可以根据排版需要随意使用 `eqnarray`，无需顾虑间距一致性。
## 5.3 单行公式内的多行公式 (aligned)
`aligned` 是一种**子环境**，只能在**单行公式**内部使用。当您需要在单行公式中排版多行对齐内容，且**只想要一个编号**时，在单行公式内部敲 `\aligned` 后回车即可。
**与 `align` 的核心区别**：
| 环境 | 编号方式 | 适用场景 |
| :-------- | :------------------- | :--------------------------------------- |
| `align` | **每行**单独编号 | 独立的多行公式，每行都是独立的等式 |
| `aligned` | **整个环境**一个编号 | 单行公式内部的多行推导，整体视为一个公式 |
**示例**（以下演示的是 `aligned` 在单行公式内部的排版效果，实际编号请在 Liii STEM 中开启编号后查看）：
$$\begin{aligned} f(x) &= (x+1)^2 \\ &= x^2 + 2x + 1 \\ &= x(x+2) + 1 \end{aligned} \tag{1}$$
**输入步骤**：
1. 先按 `Alt`+`$` 进入**单行公式**环境（或直接敲 `\equation` 后回车）
2. 在单行公式**内部**敲 `\aligned` 后回车，进入 `aligned` 子环境
3. 键入多行内容，按 `Enter` 换行
4. 为单行公式开启编号（`Ctrl`+`#`），系统会为**整个公式**分配**一个**编号
> **重要**：`aligned` **不能独立使用**，必须嵌套在单行公式内部。
>
> **提示**：`aligned` 本质上是 `align` 的"子环境"版本——对齐规则完全相同（无需手动对齐），但编号规则不同。如果您发现每行都出现了编号，说明您进入的是 `align` 环境而非 `aligned`。
## 6 怎样排版复杂公式？
### 6.1 大算子
大算子（积分、求和、乘积等）在**单行/多行公式**中会自动放大，并将上下标放在算子的正上方和正下方；而在**行内公式**中，上下标会显示在右上方和右下方（紧凑型）。例如 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}$ v.s.
$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}. $$
| 算子 | 输入 | 算子 | 输入 |
| :---------------- | :---------------- | :------------- | :-------- |
| 积分 $\int$ | `I` `Tab` | 求和 $\sum$ | `S` `Tab` |
| 二重积分 $\iint$ | `I` `I` `Tab` | 乘积 $\prod$ | `P` `Tab` |
| 三重积分 $\iiint$ | `I` `I` `I` `Tab` | 并集 $\bigcup$ | `U` `Tab` |
| 曲线积分 $\oint$ | `@` `I` | 交集 $\bigcap$ | `N` `Tab` |
| 曲面积分 $\oiint$ | `@` `I` `I` | | |
**强行将上下标放在正上方/正下方**：即使在行内公式中，也可以通过 `Alt`+`a`（顶标，正上方）或 `Alt`+`b`（底标，正下方）实现。更多关于上下标、左上标、顶标、底标的详细教程请参阅 [如何在 Liii STEM 中输入上下标、左上标、左下标、顶标、底标](howtos/how-to-input-scripts.md)。
> **提示**：如果需要让行内公式中的大算子展开显示，可将公式转换为单行公式环境（按 `Alt`+`Shift`+`↓` 循环切换）。
### 6.2 宽重音与可扩展箭头
**重音与宽重音**：按 `Alt`+修饰键（或 `Option`+修饰键）为前导字符添加重音。宽重音会自动拉伸以适应下方内容。
| 重音 | 输入 | 宽重音 | 输入 |
| :----------------- | :------------------- | :------------------------- | :------------ |
| 上标箭头 $\vec{x}$ | `Alt`+ `Shift` + `v` | 宽帽子 $\widehat{x+y}$ | `Alt`+`^` |
| 帽子 $\hat{x}$ | `Alt`+`^` | 宽波浪线 $\widetilde{x+y}$ | `Alt`+`~` |
| 波浪线 $\tilde{x}$ | `Alt`+`~` | 宽横线 $\overline{x+y}$ | `Alt`+`b` |
| 横线 $\bar{x}$ | `Alt`+ `Shift` + `b` | 上括号 $\overbrace{x+y}$ | `\overbrace` |
| 点 $\dot{x}$ | `Alt/Cmd` +`.` | 下括号 $\underbrace{x+y}$ | `\underbrace` |
| 双点 $\ddot{x}$ | `Alt`+`"` | | |
> 这里再次强调下，我们支持 $\LaTeX$ 命令，所以您也可以用类似 `\hat` 的方式输入。
>
> 模式工具栏可以找到对应的符号，光标悬浮在上面会显示快捷键提示。
**可扩展箭头**：在箭头后按 `^` 添加上标，按 `_` 添加下标，箭头会自动拉伸。
$$\xrightarrow{f \otimes g} \quad \xleftarrow{\text{逆映射}} \quad \xRightarrow{\text{蕴含}}$$
### 6.3 括号与定界符
Liii STEM 会自动匹配括号。输入 `(` 后，会自动补全 `)`。您可以直接在括号内输入内容，系统会根据内容自动调整括号大小。
**大定界符**：
| 定界符 | 输入 |
| :--------------------------- | :------------ |
| 绝对值 $\lvert x \rvert$ | `\|` `x` |
| 范数 $\lVert x \rVert$ | `\|` `\|` `x` |
| 向下取整 $\lfloor x \rfloor$ | `\|` `.` `x` |
| 向上取整 $\lceil x \rceil$ | `\|` `'` `x` |
> **提示**：如果自动匹配的括号不需要闭合，将光标放在闭括号后按 `Backspace` 即可删除。系统会用不可见括号替代，确保语义正确。
> **提示**：还记得 [2.2 Tab 循环与 Alt+Shift+↓ 循环](#22-tab-循环与-altshift-循环) 的内容吗？将光标置于括号内，按 `Alt`+`Shift`+`↓` 可在圆括号 `()`、方括号 `[]`、花括号 `{}`、尖括号 `<>` 等之间循环切换。
## 7 公式编号与引用
### 7.1 自动编号与手动控制
按 `Ctrl`+`#`（或点击焦点工具栏的 `123` 键）可为公式添加编号。再次按下可取消编号。
> **以章节号为前缀**：在焦点工具栏勾选此选项后，编号会自动带上章节前缀（如 (2.3)等），方便长文档的定位。
> 行内公式不支持编号。
### 7.2 创建标签（`\label`）
要为公式创建可引用的标签：
1. 将光标放在需要引用的公式中
2. 按 `Ctrl`+`!`（或输入 `\label`）
3. 输入标签名称后回车
已标注的公式右侧会出现由菱形与竖线构成的蓝色标识。
> **注意**：不只是公式，**定理、引理、图表、表格、章节**等任何可编号的内容都可以创建标签并被引用。本文仅介绍公式相关的引用操作，完整的引用系统请参阅 [双向链接和引用](guide-lines.md)。
良好的命名习惯能让您在引用时快速定位目标。建议采用**类型前缀 + 描述**的格式：
| 类型 | 前缀 | 示例 | 说明 |
| :--- | :---- | :------------------ | :--------- |
| 公式 | `eq:` | `eq:euler-identity` | 欧拉恒等式 |
### 7.3 插入引用（`\reference`）
在正文中引用已标记的公式：
1. 按 `Ctrl`+`?`（`\reference`或输入 `\eqref`）
2. 输入标签名称后回车
> **提示**：输入标签名称时按 `Tab` 可快速列出文档中所有已定义的标签，支持自动补全。
> **实时预览**：将鼠标悬停在引用编号上，可实时预览被引用的公式内容，点击即可跳转到对应位置。使用 `Ctrl/Cmd` + `[` 或 `]` 可来回跳转公式和引用公式的地方。
### 7.4 选读：智能引用（`smart-ref`）
Liii STEM 内置 **smart-ref** 功能，能够**自动识别**您引用内容的类型并**生成对应的引用格式**，无需手动键入类型名称和不间断空格。
**启用方法**：
1. 在文本模式下，点击焦点工具栏中的 `⊕` 按钮
2. 在 `实用` 分类中，勾选 `smart-ref`
3. 启用后 `Ctrl`+`?` 会自动使用 smart-ref
**使用示例**：
| 引用目标 | 普通 ref 输出 | smart-ref 输出 |
| :------- | :------------ | :------------- |
| 公式 (3) | `3` | `公式 (3)` |
| 定理 2.1 | `2.1` | `定理 2.1` |
| 图 4 | `4` | `图 4` |
## 8 选读：数学公式的语义
Liii STEM 内置**语义编辑**功能，如果您想要在 Liii STEM 内进行符号计算，那么这个章节对您来说会很重要！
### 8.1 为什么需要语义编辑
在 $\LaTeX$ 中，公式本质上是"纯文本"——编译器只负责排版，不关心符号背后的数学含义。这导致了许多**视觉相同但语义矛盾**的情况，轻则让计算机代数系统困惑，重则产生错误的数学推导。Liii STEM 的语义编辑正是为了解决这些问题。
**同形异义符（Homoglyphs）的陷阱**：
以下符号在 $\LaTeX$ 中可能看起来完全一样，但数学含义截然不同：
| 符号 | 含义一 | 含义二 |
| :--- | :-------------------------- | :---------------------------------- |
| `\|` | 绝对值 $\|{-x}\| = \|x\|$ | 整除 $11 \mid 1001$ |
| `,` | 函数参数分隔 $f(x, y)$ | 小数逗号 $3{,}14159$ |
| `.` | 小数点 $3.14$ | lambda演算连接符 $\lambda x.\,x^2$ |
| `:` | 比例分隔 $a : b : c$ | 类型标注 $x : \text{Int}$ |
| `\` | 反斜杠符号 `\x` | 集合差 $\mathbb{N} \setminus \{0\}$ |
| `&` | 逻辑与 $1 = 1 \wedge 2 = 2$ | 楔积 $dx \wedge dy$ |
**不可见运算符的歧义**：
更隐蔽的是那些"看不见"的运算符——它们在纸面上显示为空白或极小的间距，但对计算机来说含义完全不同：
- **乘法** vs **函数应用**：$ab$（乘法）和 $\sin x$（函数应用）在 $\LaTeX$ 中都必须手动排版，但 Liii STEM 要求您显式选择：`*` `Tab` 输入不可见乘法，`Space` 输入函数应用。
- **不可见分隔符**：矩阵 $(a_{ij})$ 中的逗号其实是不可见分隔符，与函数参数中的可见逗号语义不同。
- **常数 vs 变量**：$\mathrm{e}$（自然常数）和 $e$（普通变量）在 $\LaTeX$ 中需要用不同的命令（`\mathrm{e}` vs `e`），而在 Liii STEM 中通过 `Tab` 循环即可区分。
**为什么这很重要？**
- **兼容计算机代数系统**：由于公式带有完整的语义信息，您可以直接将编辑好的数学表达式复制粘贴到 Python、Maple、Sage、Mathematica 等系统中进行符号运算，无需手动转译。例如，在 Liii STEM 中输入的 $a * b$（不可见乘法）粘贴到 Python 后会自动变成 `a * b`，而 `a b`（函数应用）则保持为函数调用语义。Liii STEM 还内置了 [Python 会话插件](guide-python.md)，可直接粘贴公式在文档中运行 Python 代码并获取计算结果。
- **减少低级错误**：句法检查能在输入阶段就发现"错别字"或结构错误。例如，$a +$ 这样的不完整表达式会被标记为不正确，而 $a(b+c)$ 和 $f(x+y)$ 在句法上会被严格区分为乘法和函数应用。
- **智能选择与粘贴**：剪切和粘贴时，只能选择句法上有意义的子公式，避免破坏公式结构。
- **规范表示法**：降低使用非标准或歧义表示法的风险。
### 8.2 同形异义符与不可见运算符
Liii STEM 仔细区分了**同形异义符**（homoglyphs）——即看起来相同但含义不同的符号。其中最典型的是不可见乘法与函数应用：
| 输入 | 效果 | 示例 | 含义 |
| --------- | ---------- | ---------- | ------------ |
| `*` `Tab` | （不可见） | $ab$ | 不可见乘法 |
| `Space` | （不可见） | $\sin x$ | 函数应用 |
| `,` | $,$ | $f(x, y)$ | 逗号分隔符 |
| `,` `Tab` | （不可见） | $(a_{ij})$ | 不可见分隔符 |
> **提示**：输入公式时，请务必区分乘法和函数应用。例如，$a(b+c)$ 通常表示乘法，而 $f(x+y)$ 表示函数应用，二者在句法上完全不同。
>
> **单字母算子与多字母算子**：在 Liii STEM 中，多字母序列（如 `sin`、`cos`、`lim`、`log`）会被自动识别为算子，无需额外命令。但单字母（如 `d`、`e`、`i`）默认是斜体变量。如果要将单字母用作算子或常数（如微分符号 $\mathrm{d}$、自然常数 $\mathrm{e}$、虚数单位 $\mathrm{i}$），需要通过 `Tab` 循环将其切换为直立形式。这与 $\LaTeX$ 中用 `\mathrm{d}` 显式声明正体形成对照——在 Liii STEM 中，您只需要记住"单字母算子按 `Tab`"即可。
> 如果您输入 `a` `Space` `b` 后粘贴进 Python，您会得到 `a b` 但是如果您在 `a b` 之间插入一个不可见乘号，粘贴进 Python 后会得到 `a * b` 可以直接进行符号运算。
### 8.3 语义焦点
当您开启语义编辑后，Liii STEM 的焦点工具栏和编辑行为会适应公式的**句法结构**，而不仅仅是视觉结构。
- **颜色反馈**：如果当前公式句法正确，语义焦点边界框会显示为**绿色**；若存在错误，则显示为**红色**。这让您在输入时就能快速发现错别字。
- **优先级提示**：将光标放在运算符旁边时，该运算符所作用的完整子表达式会被高亮显示，帮助您确认默认解释是否符合预期。
**示例**：在公式 $a + b \times c$ 中：
将光标放在 `\times` 旁边，$b \times c$ 会被高亮——这展示了乘法的局部作用域；将光标放在 `+` 旁边，$a$ 和 $b \times c$ 会被同时高亮——这直观地展示了乘法的优先级高于加法：
> **提示**：语义编辑模式可在 `编辑` → `首选项` → `数学` → `语义编辑` 中切换。建议在进行大量公式编辑时保持开启，以获得更好的编辑体验。
## 9 后续阅读
> 需要一份完整的符号快捷键速查表？请参阅 [Liii STEM 的键盘快捷键](../keyboard-shortcuts.md)。
- [高效编辑指南](guide-tab.md)：深入了解 Tab 循环、结构化变体和结构化光标移动的高效编辑技巧。
- [写给 LaTeX 用户的 Liii STEM 教程](latex-user-guide.md)：从 $\LaTeX$ 迁移的用户可查阅第 6 节，了解公式编辑的详细对照。
- [自定义宏命令](guide-macro.md)：学习如何创建自定义数学符号和快捷命令。
- [文本模式完全指南](base-editing/guide-text-mode.md)：深入了解内容标记、字体设置、章节目录、列表、语义块、参考文献、图片表格、算法代码、批注脚注等完整功能。
- [Python 会话插件](guide-python.md)：在文档中直接运行 Python 代码，验证和计算数学公式。
- [幻灯片制作](guide-ppt.md)：在幻灯片模式中排版和展示数学公式。
